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欽定四庫全書
同文算指通編卷七
明 李之藻 撰
積較和相求開平方諸法第十四
凡平方長濶不等以長濶相乗為實積以長濶相減為 較以長濶相併為和
凡以積和求較者以和自乗以積四因相減開其餘 得較
假如直田積八百六十四步長濶和六十步求長 多濶幾步者用和自乗又四因直積 以少減多餘一百四十四平方開之得差一十二 步
右開法見前不重列所以和自乗又四因直積者 葢和自乗有四段直田積一段差方積故以四積 減和乃剰下差方一段以取方面見步 比類如有金八百六十四兩數人分之只云人數與
各得銀數共六十其差幾何銀數爲濶人數爲長得 三十六人毎人二十四兩
凡以積較求和者四因實積又以差自乗併入開平方 除之得和
假如直田積八百六十四歩濶不及長一十二歩求長 濶和共幾歩者以積歩四因以較自乗 相併開方得長濶和六十歩
右四因積有四長四濶縱 横列之于外又較自之一 段居中故開方得和 其用和自乗者得此圖全 數外兼四積内兼較自乗 故除積得較
比類金八百六十四兩只云錠數不及兩數十二求 錠與兩共若干兩數爲長錠數爲濶得錠與兩共六 十
若夫積與較求濶者其長之積多於濶若非加法以帶 除其長當於實積内抽減其長之積故其法有二其一 以較為縱方併縱入方謂之帶縱開平方其一以較為 減積以方乗減謂之減積開平方
積與較求長者其濶之積少於長若非益積以補濶則 當損其法之長也求法有二其一以較為負縱乗上商 以添積謂之負縱益積開平方其一以較為減縱而以 負縱減方法謂之帶減縱開平方
積與和求濶者以和為縱方一為負隅和併一長一濶 積得一長而少一濶故用一為負隅或益負隅於積或 減負隅於縱皆可以求其濶也其益隅於積者乗負隅 為方法又乗方法以益積是為帶縱益隅開平方其減 隅於縱者乗負隅以減縱命餘縱以除實是為帶縱負 隅減縱開平方
積與和求長者原積有長濶相乗而無長自乗宜損濶 以益長故以和為縱方而置一算為負隅稍贏其商以 減其縱用減餘者以除積而積常不足則翻以積減縱 而餘為負積或再商命隅以減縱而縱反不足亦翻以 縱減商而餘積縱三者俱負乃以負縱約餘負積商命 負隅開之是為帶縱負隅減縱翻法開平方
右縱方六術所以通平方之變而翻法一術又所以通 縱方之窮也此外有積與二濶較及長濶較求濶者則 有所謂帶縱減積開平方有以大小二方和積求徑者 則有所謂減積帶縱負隅併縱開平方有以方圓二徑 虚設相同及積求其實徑者則有所謂隅算開平方至 於匿其積實而虚張長濶和較之數互求長濶者則又 有所謂帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱開平方減 積帶縱隅益積開平方帶縱負隅減縱益實開平方帶 縱廉開平方帶縱廉負隅開平方帶縱方廉開平方帶 縱廉負隅乗縱減實開平方皆以帶縱諸法錯綜為用 以御開方諸積之變神明變化存乎當機初不可一途 而取今每則畧著數例以便初學
帶縱開平方法
有勾股積若干平方開之第云勾不及股若干用加法 帶除其股積餘為開方名帶縱開平方法列實點定開 位亦列所不及為縱數于下以首位隨首點下須于縱 上空一横行以容商除初商若干紀格右亦以商數併 縱數列首點下次第呼乗以除實數但所 商數須與帶縱相照若縱數多則減商數就之不盡之 數再倍作廉法然倍方不倍縱亦併入帶縱商之
假如有直田積八百六十四步濶不及長一十二步求 濶幾步列實定位以帶縱隨首位列之初商二紀格
右亦列首點下以併帶縱共三乃
變壹貳註三 相呼二三除六 三
上捌變二二二除四 貳上陸變二
完首段餘實二百二十四步次倍二
作四為廉法挨退位下亦列帶縱以
廉四併縱一其下列五次商四紀格
右亦註末位點下為隅法以併隅二下註六乃相呼除 先呼五四除二十進抺二又呼四六二十四恰盡得
濶二十四步
比類給銀八百六十四兩只云所得銀之兩比得分 人數多一十二兩求總是幾人每人各得銀幾兩銀 多為長人少為濶得銀兩數二十四人數三十六
假如二十三萬○四百為實帶縱七百二十初商可用 四數因有帶縱七乃減商作二紀格右亦紀首點下為
隅以併帶縱七共九乃變二七作
九是為與右二疉呼除之 二
九一十八 九上叄變五進削貳
本位下削九 次以右二乗二除
四用借法 二上○變六 進位
五變四本位下削二次倍二作四
為廉法列次點之進位○下另列
帶縱數于廉下以待商除次商四
紀格右亦註次點四下為隅法而以帶縱及廉法併入 除之四七併一十一廉下變一 進位亦加一 四二 併得六隅下變六乃以右四呼首一 一四除四 一 上削四又以右四呼次一 一四除四 一上六變二 又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 進位除 二恰盡因尚餘一點于右加一○
右平方二百四十帶縱共九百六十
若實數首位寡而帶縱數多不能併累開方者雖點段 在首位亦退一位列商及列帶縱而減一商
假如列實一萬六千一百卄八帶縱七十二點段該將
左首位商起因帶縱是七即減
一商置次點下 初商九紀格
右亦註次點之下併帶縱七共
一十六乃改七九作六進位置
一為方法與商九相呼 一九
除九 一上陸變七進抹一
六九五十四 六上壹變七進位七變一 二九一十 八 二上貳變四進位七變五次倍九得一十八為廉 法叧退一位置帶縱再商六紀右亦註末點下為隅法 而併廉法帶縱呼除如前得濶九十六帶縱七十二共 長一百六十八
其實首數多帶縱數少可以開除者仍照所點段位開 起