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欽定四庫全書
同文算指通編卷八
明 李之藻 撰
帶縱諸變開平方第十五
開方帶縱其變無窮更繹其要有十一種餘可神而明 之若積與二濶較及長濶較求濶用帶縱減積開平方 假如三廣田積二千四百六十五步第云中廣不及南 廣八步亦不及北廣三十六步又不及正長六十七步
問廣併長各幾何列積為實
併不及二廣以四而一
得一十一為縱方以不及正
長為減積初商一紀右
以併帶縱共二十一列
註首點下為方法以乗減積得一千四百七先以減積 所乗呼商一七除七尾位伍變八 進位陸變五 一 四除四 進位肆變○一一除一首位貳變一 次以
所註方法呼商一二除二
二上○變八進削一 一
一除一 一上五變四餘
實八四八乃倍方一作二
為廉法併減積
又併帶縱共九十八為方法註退位續商八紀右 以併方法得一百六呼除一八除八 一上削八 六 八四十八恰盡得中廣一十八步各加不及得南廣二 十六步北廣五十四步正長八十五步
右凡梯田斜田箕田杖鼓田四不等田以積求長廣 者俱以此法求之
凡大小二方和積求徑者用減積帶縱負隅併縱開平 方
假如大小方田二段共積七千五百九十二步大方面 較小方面多二十八步求大小方面各幾何用較自乗 以減積餘六千八百零八為實倍較得五
十六為帶縱叧置二為負隅初
商四乗負隅得八十併
縱方共一百三十六為方法註
積下以呼所商一四除四 一
上陸變二 三四一十二 三
上捌變六進位二變一 四六二十四 六上○變六 進位六變三餘實一三六八次倍商得八併初方 共二百一十六為廉法註退位續商六紀右亦乗負 隅得一十二為隅法併入廉法共二百二十八與次商 呼除盡得小方面四十六步加較得大方面七十四步 又假如大小方田三段共積四千七百八十八步大方 面多中方面十八步中方面多小方面十二步求各方 面幾何以大方面較小面數自乗得以中方面較 小面數自乗得相併共一千四十四以減共 積餘三千七百四十四為實併二較倍之得八十四為 縱方以三為負隅初商二紀右以乗負隅得六
十併縱方共一百四十四為
方法列首位以呼所商二四
除八 四上肆變六 二四
除八 四上㭍變八進位叄
變二 一二除二 一上削
二餘實八百六十四倍方法作一百二十為廉法以 併縱方得二百四註退位為方法次商四紀右以乗 負隅得一十二為隅法併方法共二百一十六與次 商呼除二四除八 二上削八 一四除四 一上六 變二 四六二十四恰盡得小方面二十四步以較加 之得中方面三十六步大方面五十四步
凡方田圓田徑相似以其共積求相似之徑幾何者用 隅算開平方凡圓者之四可當方者之三併方圓之率 為七用七為隅算用四乗原積開方
假如方圓田共積二千二百六十八步只云方面圓徑 相等求方面圓徑者四乗原積得九千七十二步為實 叧列七為隅算初商三紀右乗隅共二百一十為 方法與商相呼二三除六 二上玖變三一三除三 一上○變七進位三變二餘實二七七二乃倍三十作
六十為廉法註退位次商六以乗
隅得四十二為隅法又以乗廉
六十得三百六十併共四百○二
仍併入廉法共四六二與商相呼
恰盡得方面圓徑俱三十六步
又法四乗原積得九千○七十二步併方四圜三得 七為法除之得一千二百九十六為實乃以開平方 法求得方面圜徑三十六步更簡易
凡匿其原積只云一長二濶三和四較更以長乗之共 數若干其長濶之較若干以求其長幾何者用益積以 補濶則有帶縱隅益積開平方
假如田不知積但以長乗一長二濶三和四較共得四 萬四千九百二十八步其長濶之較二十四步求長者 列實叧置較為益縱約三和得三長三濶併一長二濶 得四長五濶又併四較入濶為長得八長一濶共九段
以九為隅算初商
七十乗隅算得
六百三十為隅法
又以初商乗益
縱得一千六
百八十註原積之
下以益原積 八上貳變○進加一六上玖併一變六 進加一 一上肆併一變六共四萬六千六百○八却 以隅法註退位與商相呼六七四十二六上六變 四進削四 三七二十一 三上六變五進位四變二 餘實二五○八乃倍隅法得一千二百六十為方 法註退位以商餘實得二紀右又乗隅算得一十八 為隅法另以所商二乗益縱得四十八併入餘實 八上八變六 四上○變五共得二五五六却以方 隅二法併共一千二百七十八皆與所商呼除恰盡 得長七十二步
又同前田不知實用長數乗一長二濶三和四較共若 干及其較若干以求長者或損長以就之用帶縱負隅 減縱開平方
假如一長二濶三和四較以長乗之得四萬七千二百 一十二其較二十八步而不知其積求其長列長乗之 積為實較為縱方仍前法推得為負隅初商七十紀
右乗負隅得六百三十為
方法内減縱法剰六
百二退位註實下以呼所
商六七四十二六上㭍變
五進削肆 二七一十四
二上壹變七進位貳變
○餘實五○七二次倍方法得内減縱法 得一千二百三十二為廉法列餘實之下約實續商得 四紀右乗負隅得三十六為隅法併廉法共一二六八 改註尾位與續商相呼恰盡得長七十四步
又有同前不知積知較而以濶乗其一長二濶三和四 較得若干求長者用減積帶縱隅益積開平方
假如設為一長二濶三和四較以濶數乗之得二萬九 千九百五十二其較二十四問長幾何置較自乗 以減原積餘二萬九千三百七十六為實 較為益縱六為隅算初商七十紀右乗隅得四
百二十為隅法註實下
又以商乗益縱得一千六百八十以益
原積尾次七變五進位
叄變○ 又進玖變一