加载中…
欽定四庫全書
同文算指通編卷四
明 李之藻 撰
疊借互徵第七
借虚徵實其術精矣又有子母雜互隠奥難知者則兩 借虚數以徵之徵之于實尚逺也或兩浮而盈或兩縮 而不足或一盈一不足俱以借數列上以較原數以多 寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足 者以差數相減餘為法以乗數相減餘為實若一盈一 不足者以差數相併為實而以法除實則二法相同 舊有盈朒一章大都類此而此則於未有盈朒之先 借數推出盈朒以求隠數故曰借徵其顯有盈不足 實數者但依舊法求之諸盈不足者兩盈者兩不足 者盈適足者不足適足者及疊互母子者各具數條 見例
問設一虚數以其半為用内除三之一又除四之一 尚餘三百其原總數幾何其法先另借一通數以 分其半而通各分先借二十四為數列左上 以比三百則不足二百九十 五列左下另借九十六為數列右上 以比三百不足二百八十列右下 次以左上乘右下又以右上乘左下各得數附註其 下以少減多其餘為實而以左下右下相減其餘為法 除之
除得一千四百四十合原總以減半為七百二十其 三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百 合一半七百二十之數
假如借四千八百為通數列左上 以比三百則盈七百列左下又借二千四百 為通數列右上以比三 百盈二百列右下亦以二數相減餘為法而以左上乘 右下以右上乘左下相減餘為實而以法除之
以法除實亦得一千四百四十合原總數
又假如借二千四百為通數列左上盈 二百列左下再借九十六列右上不足二 百八十列右下此係一盈一不足者相併為法次以左上乘右 下以右上乘左下亦相併為實以法除實仍得一千四百四十
問三人共銀四十四兩乙多甲一倍外又多四兩丙兼 甲乙之數外又多六兩每人實數㡬何 先借一十為通數列左上 共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列 右上共五十以比四十四盈 六列右下以相減餘為法乃以左上乘右下以右上乘 左下亦以相減餘為實以法除之得五為所求之甲數 倍之又加四得一十四為乙數兼之又加六得二十五
右圖以甲之左數一十乘六及以右數六乘三十 者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六 乘三十亦得乙數以丙之四十乘六及二十八乘
三十者亦得丙數以
共數七十四乘六及
五十乘三十者亦得
共數
問甲乙各不知數取乙九與甲則甲倍于乙取甲九與乙 則甲乙正等原數各若干借一百為等數乙既得甲九則 甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九則甲 一百十八而乙八十二以視甲之半盈二十三列 左下另借五十為等數乙既得甲九則甲原五十九列右上 而乙四十一列其次甲又取乙九則甲得六十八而乙三十 三以視甲之半不足二列右下盈不足相併二十五為法 左上乘右下右上乘左下相併為實以法除實係甲乘 者除得六十三為甲數係乙乘者除得四十五為乙數
問攜酒遊山到處沽増一倍俱飲六升至第四處飲訖 無餘原攜若干借五升四合列左上倍之減六 又倍之減六三次倍之減六四 次倍之以減六不足三升六合列左次另借六升 二合列右上倍之減六又倍減至四次
盈九升二合列右次盈不足相併為法以左上乘右下 右上乘左下併為實以法除實得五升六合二勺五抄
問貸榖不知數每年加息一倍一年還榖五斗至五年 本利俱完其原貸若干先借四十三石列左上倍之 減所還又倍之又減仍倍之不 足六石列左下又借四十四石列右上倍之减所 還又倍之又減仍倍之盈二石列 右下併盈不足為法左上乘石下右上乘左下得數併 為實以法除實得原榖四十三石七斗五升
或依三率置五十為實置
三年之倍併得七乘
之加母為法除之亦同
問逐兔百隻每三人得四隻該㡬人先借七十二人列左 上以四乘三除盈四隻列下另借九十人列右上 以四乘三除不足二十列下盈不足併為法左上乘 右下右上乘左下得數併為實以法除實得七十五人
此問依三率三
乘四除即得
借此見例云
問甲乙丙共數六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙數 外加六各該㡬何先借六為甲通乙丙數列左上 共得五十比正數不足一十列左下又借八為 甲通乙丙數列右上共六十二比正數盈 二列右下相併為法次以左上乘右下以右上乘左下 亦相併為實依法除得七零三之二為甲數倍之加四 得十九零三之一為乙數兼甲乙加六得三十三為丙 數總合六十數
問試以三十數隨手剖為二以其一加六十以其一加 二十而加六十者為加二十者之三之二其剖分之數 各㡬何此取三十而隨意剖之且借二十為甲數列左 上列乙一十于次而各如問加焉察其數 甲視乙固不足三之二 以不足一十列左下又借二十四為甲數列右上亦 列乙六于其次各加如問而察其數 甲又盈乙三之二 以盈六列右下盈不足積併為法次以左上乘右下以 右上乘左下併為實以法除實得二十二又二之一為 甲數然後求三之一則七零二之一為乙數也