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欽定四庫全書
同文算指前編卷下
明 李之藻 撰
竒零約法第六
凡數除之不盡者以法命之曰幾分之幾除數為母 列上竒數為子列下
假如列實四十六以七為法除之尚餘四是謂七之四 餘倣此
列位式
若竒零有二項辨其孰多孰寡以子母二數互參母數 相同則但據子數
若子數相等母數不等者其母數小子數反大母數大
若子母數俱不等别其多寡者並列以彼此母子互乘 得數各註其子數下
有差逺者 有稍差者
有相同者
四之三與八之六同則八之六即四之三
假如欲知何以皆為四分之三但將子 母兩數立通數乘之且如之有六 數可以通乘六八四十八六六三十六 母係六八子係六六便知之即是 八之六此係有見成乘法可用者
其積數已多而既難折半又無通數可乘則須另立紐 數歸除其法以小減大減盡而止以最後減盡數為用 以除子母二數其所除得數即是約數
假如四十八之三十二即三之二
於内減餘即以再減二次盡 乃以一十六為紐數以除得三是母約 數以除得二是子約數
假如六百七十六之四百六十八即一十三之九 子減母餘二百八以二百八減子數用二 轉餘五十二以五十二減二百八恰盡即 以五十二為紐數以除六百七十六得一 十三是母約數以除四百六十八得九是 子約數
其以寡減多終不能盡者不復可約只就見數為則 以減餘 以減餘 以減 餘一不盡
以減餘三 以三減餘二 以二減 三餘一不盡 以上不盡無紐
竒零併母子法第七
凡兩子母數不等須先併母較之以兩母相乘得共母 數次以兩母互乘兩子各得子數
又有三四母子不同併較多寡者亦以各母次第徧乘 歸併作一共母乃以各母之數除之即以各子乘 之得各子數
先併母數二乘三得六又
以六乘四得二十四又以
二十四乘五得一百二十
為共母
乃以首母二除得六十以首子
一乘仍六十為其子數
以次位母三除得四十以子數
二乗得八十為其子數
以三位母四除得三十以子數
三乘得九十為其子數
以四位母五除得二十四子一
乘仍二十四為其子數
若每數相乗遇有紐數可用即用紐數除 之以其所得相乘以省約法
右用一紐數而前之乘得一百二十者約為六 ○ 十所省多矣次乃如法以各母除以各子乘 六 乃以首母二除得三十子一乘亦三十
以次母三除得二十子二乘得四十
以第三母四除得一十五子三乘得四十五
以第四母五除得一十二子一乘仍一十二
凡兩數母子俱殊但有紐數可用皆可以此推之
二三為六故註二於六下
四三一十二故註四於下
乃即以二十四為共母數而母除子乘如前法 以第一母六除此二十四得四以其子數 五乘得二十為二十四之二十
以第二母一十二除此二十四得二以其 子數七乘得一十四為二十四之一十四
竒零絫析約法第八
竒數有析之又析者如母七子四是為七之四又析其四作五以為母而 五中餘三是為五分四之三子中出子相聯而成則名七之四又五分四之三也
又有母二子一是二之一又以子一
析為六而六中餘一又以子一析
為四而四中餘三又即以子三為
母而三中餘二連析四次總名二之一
又六分一之一又四分一之三三之二
右法須取捷歸併以便查算俱以母乘母子乘子依 位列之如七之四又五分四之三者乃三十五之一 十二
母數五七得三十五
子數三四得一十二
如前二之一又六分一之一又四分一之三三之二 者乃是一百四十四之六
母數三乘四得一十二又一十二乘 六得七十二又七十二乘二得一百 四十四為共母數子數二乘三得六 又一六只六又一六只六為共子數
右一百四十四之六依約法乃即二十四之一
以六除一百四十四得二十四恰 盡故六為紐數二十四為母約數 以六除六得一盡故一為子約數
假如連析三次者五之三又三之二又四分二之三併之乃六十之一十八
母數四乘三得一十二又一十二乘 五得六十為共母數 子數三乘二 得六又六乗三得一十八為共子數
右六十之一十八約之即一十之三
用子數一十八除母數六十餘六
即以六除一十八恰盡是六為紐數以 六除六十得一十故一十為母約數以
六除一十八得三故三為子約數
右絫析乃厯家所常用者粟米方田諸家鮮用然亦可 以近譬假如右式五之三又三之二又四分二之三者 今有金一兩析之為五五之三乃六錢也又析為 三之二則四錢矣又析為四分之三則三錢矣總是一 十分之三
化法第九
凡整數後帶竒零難於歸除須將整數盡依母數化之 其法以母數乗整數以乗得數併入子數却以母數除 之
假如有整六數零五分一之三者列六於左列五之三 於右
每數皆剖為五分五乗六得三十併
入子數三是為五之三十三列下
假如有整七數零五分一之四者列七於左列五之四 於右
每數皆剖為五分五七三十五併
入子數四是為五之三十九
於是乃化零數為整數其法以母除子
此為一剖七之五十六以母數
除子數用八除盡知是整八數
此為一剖九之四十七以母除子用
五餘二知是整五數又零九之二
竒零加法第十
數有竒零或兩零數或三四零數以至百千零數加併 為一法具後
若母數異則先併母數但有紐數者依紐數求其共母 無紐數者以互乗求其共母而各以其原母除之又以 原子乗之得子數乃視其子數多寡總而積之又以共 母除積子以歸本數
又法求其子數徑用母子互乘亦得但積數 多者未便須用母除子乘之法
若既有整數又有零數則先加積整數次乃加積零數 其零數同母者只併子數其零數異母者依前法且併 母數而位少者子母互乗位多者各以原母除原子乗
以上係不同母數者