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欽定四庫全書 句股引蒙卷二 海寜 陳訏 撰 開方 開方為句股積冪測量步算之源其法取積實歸 除使均齊方正知每邊得若干數其用籌除實視 某格為某商若干等類俱如前法有平方大籌立 方大籌置廉用散籌 平方開面立方開體皆開除所積之實平方則開 平面所積之方故大籌每格止一自乗立方則開 立體所積之方故大籌每格其右邊直行先平列 一自乘數其中左兩行雖有斜格而平行每格又 以自乗之數與每格之一二三四五六七八九相 乗蓋如圍棋子平方則四邊十九而三百六十一 為十九个十九也立方則十九个三百六十一也 又平方立方俱以第一次大籌除實之格為方根 後各依法加廉其大籌所除之格其實即隅積其 平行之數即隅數且隅積即在平廉約法中并列 并除此天然之巧也凡測算雖極逺極大其所測 中心止憑一㸃其逺近多少相距亦止憑一㸃從 此㸃至彼㸃則有線線即有所積之面面即有所 積之體故平方開面立方開體皆因其所積之面 與體以求其所距之線與所測之㸃為句股三角 之用也 開平方法 先㸃定開位從末單位㸃起隔 一位㸃以至實首一㸃一開二㸃二開開不盡者命 分 一㸃者根必單二㸃者根必十先從左大數視 平方籌相近之格除之開數定則方根之十百千萬 亦定矣 凡初商除至前第一㸃止次商除至前第二㸃止如 次商㸃位前原止二位而籌格有三位不得除至第 二㸃後便須置○於次商為次商○三商以下皆然 初商法 平方籌取近少除實至前第一㸃止在第幾格即為 初商若干此第一次除之商數名為方根 㸃前無餘者從籌上一二三格之單位除㸃前有餘 者從籌上四五六七八九格之雙位除如實少於籌 者用退位法除
次商法 以初商所得數倍之為廉以所倍之廉數列籌於平 方籌左取某格近少除之為次商若干 三商法 以次商所得數倍之為廉列籌於次商籌之右平方 籌之左除實同前法 每商置○定位三則 三商式 如列實三㸃為三開㸃 前無餘該大籌單位除實三格内除 九為初商三寫三字在首㸃積實之 二 上 三 九 次商應倍初商之三列六號籌為廉除 ○ 實若取近少莫如三格但次㸃位前實 止有二位而籌有三位不得除至次㸃 位後便須置○是為次商得○寫○於 次㸃位積實上隔○籌於平方籌左 三商既列六號籌○籌於平方籌之左 便應統取近少除至末㸃位止今四格 恰除盡為三商得四寫四於末㸃位積 實之上 三商根必百故初商之三為三百
四商式 㸃前無餘大籌單位除九初商得三書 商數及置○與三商俱同前法 四商倍三商之四列八號籌於大籌之 左及前六號籌與○籌之右四格除盡
為四商四 四商根必千故初商之三為三千 四商○○式 初商視平方籌取三格除九為初商得 三次商倍方根列六號籌於表左應除 至次㸃位止但次㸃前實止一位而法 之一格兩位下俱三位便須置○隔○ 籌於前列籌右平方籌左為次商得○
三商應除至三㸃位止但三㸃前止三 位取近少在三格法有四位便須置○ 隔籌於前列籌右平方籌左為三商 得四商四格恰除盡為四商得四 四商根必千故初商之三為三千 加籌 凡商除之後如兩廉必倍前商之數如前商一加二 號籌前商二加四號籌之類此易明惟前商五倍之 加一十則加一號○號兩籌葢五加一籌○籌方是 一十若不𢃄○籌則一為單數矣若前商之廉是十 數又當為升籌 升籌 凡商除之後如有加兩籌者當用升籌法葢同位則 升也如平方三開其初商二是為二百次商倍之為 廉是四百應列四號籌矣其次商六是為六十三商 倍之為廉是一百二十似應再列一號二號籌於前 商四號籌之右然從四號籌挨次而來似乎四百一 十二而非倍六十之一百二十矣故應將一百與四 百併之為五百連二十為五百二十升作五二籌列 於平方籌左而前商之四號籌去之 隔籌 每商必加倍數籌以為廉法故前商既置○矣亦須 隔○籌於前列籌之右以為後商之廉法而取近少 除實為後商其前列籌固倍數也而○不必倍者葢 置一○只應隔一○籌耳 命分 見前籌算法視末商籌之第一格為若干分視所餘 不盡之實命為若干分之若干分 如餘積五十七如末商兩廉列八號四號籌 視第一格八四一命為八百四十一分之五百 七十分葢第一格是兩廉每加一分之全數故止 視第一格而命其全數與現在不盡之分也 求分杪 凡有開不盡者或不命分欲知若干分杪於餘實下 增兩○位為○○則多開一位而分杪可得矣
右皆開平方法其平方帶縱者開方附左 平方𢃄縱 列積實依開方商除法每商除實得商數以乘縱數 除餘實其次商倍初商數除實以次商數乗縱數除 餘實但倍商不倍縱餘商同法合每商之數為闊 加縱數即𢃄縱之長方 如縱數有比例可求者先以比例分其積而餘積以 平方開之得闊因以知其長 開方得闊加縱式 假如長田六百二十四步 闊不及長二步