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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十九 末部九 比例規解 比例規解 比例尺代算凡㸃線面體乘除開方皆可以規度而 得然於畫圖製器尤所必需誠算器之至善者焉究 其立法之原總不越乎同式三角形之比例葢同式 三角形其各角各邊皆為相當之率今張尺之兩股 為三角形之兩腰其尺末相距即三角形之底遂成 兩邊相等之三角形於中任截兩邊相等之各三角 形則其各腰之比例必與各底之比例相當也一曰 平分線以御三率一曰分面線一曰更面線以御面 羃一曰分體線一曰更體線以御體積一曰五金線 以御輕重一曰分圓線一曰正弦線一曰正切線一 曰正割線以御測量併製平儀諸器凡此十線或總 歸一器或分為數體任意為之無所不可今將各線 之分法及用法併著於篇此外又有假數尺即用對 數及正弦割切諸線之對數為之用於三率比例測 量尤為簡捷亦詳其法於後 平分線 自甲樞心至乙丙兩股之末作甲乙甲 丙二線依幾何原本十二卷十九節之 法將甲乙甲丙二線俱平分為二百分 即為平分線也尺之長短任意為之尺 短則平分一百分尺長則平分四五百 分或一千分亦可分愈多而用愈便也 設如一丁戊線欲加五倍問得幾何 法以比例尺平分線第十分之己庚二 㸃依丁戊線度展開勿令移動次取平 分線第五十分之辛壬二㸃相離之度 作丁癸線即丁戊線之五倍也葢十分 之㸃為己與庚而甲己庚為兩邊相等 之三角形甲己甲庚為腰己庚相距為 底又五十分之㸃為辛與壬而甲辛壬 為兩邊相等之三角形甲辛甲壬為腰 辛壬相距為底此兩三角形為同式形 故甲庚與己庚之比同於甲壬與辛壬 之比而甲庚與甲壬之比亦同於己庚 與辛壬之比甲壬既為甲庚之五倍則 辛壬必為己庚之五倍而丁癸亦為丁 戊之五倍可知矣若欲將丁戊線加十 五倍則仍以丁戊線度於十分上定尺 取平分線第一百五十分之子丑二㸃 相離之度作寅卯線即為丁戊線之十 五倍也若欲將丁戊線加三分之二則 將平分線第三十分之辰巳二㸃依丁 戊線度展開勿令移動而取平分線第 五十分之午未二㸃相離之度作申酉 線即為丁戊線加三分之二也