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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十八 末部八 對數比例 對數比例 對數比例乃西士若往訥白爾所作以借數與眞數 對列成表故名對數表又有恩利格巴理知斯者復 加增修行之數十年始至中國其法以加代乘以減 代除以加倍代自乘故折半即開平方以三因代再 乘故三歸即開立方推之至於諸乘方莫不皆以假 數相求而得眞數葢為乘除之數甚繁而以假數代 之甚易也其立數之原起於連比例葢比例四率二 率與三率相乘一率除之得四率而遞加遞減之四 數第二數第三數相加減第一數則得第四數作者 有見於此故設假數以加減代乘除之用此表之所 以立也然連比例之大者莫如十百千萬葢一與十 十與百百與千千與萬萬與十萬其數皆為一而遞 進一位取其整齊而無竒零也一為數之始以之乘 除數皆不變故一之假數定為○而十之假數定為 一百之假數定為二千之假數定為三萬之假數定 為四十萬之假數定為五推之百千萬億皆遞加一 數此對數之大綱也其間之零數則用中比例累求 而得以首率末率兩眞數相乘開方即得中率之眞 數以首率末率兩假數相加折半即得中率之假數 又法用遞乘而得以眞數遞次相乘其乘得之位數 即所得之假數此二法者理雖易明而數則甚繁也 又有遞次開方一法以眞數遞次開方假數遞次折 半至於數十次使彼此皆可為比例而假數由之而 生又有相較之一法省開方之多次尤為甚㨗至於 他數之可以乘除得者如二與三相乘而得六則以 二之假數與三之假數相加即為六之假數又以二 除十而得五則以二之假數與十之假數相減即為 五之假數之類其不由乘除而得者則又以累乘累 除之法求之此對數之細目也今為推其理考其數 先詳作表之原次明用表之法使學者知作者之難 而用之甚易甚勿以易而忘其難也 明對數之原之一 凡眞數連比例四率任對設遞加遞減之較相等之 四假數其第二率相對之假數與第三率相對之 假數相加内減第一率相對之假數即得第四率 相對之假數若減第四率相對之假數即得第一 率相對之假數 如二四八十六連比例四率任對設二 之假數為一四之假數為二八之假數 為三十六之假數為四其遞加遞減之 數皆為一以二率四相對之假數二與 三率八相對之假數三相加得五内減 一率二相對之假數一即得四率十六 相對之假數四若減四率十六相對之 假數四即得一率二相對之假數一或 以二之假數為三四之假數為五八之 假數為七十六之假數為九其遞加遞 減之數皆為二以二率四相對之假數 五與三率八相對之假數七相加内減 一率二相對之假數三即得四率十六 相對之假數九若減四率十六相對之 假數九即得一率二相對之假數三 明對數之原之二 凡眞數連比例三率任對設遞加遞減之較相等之 三假數其中率相對之假數倍之内減首率相對 之假數即得末率相對之假數若減末率相對之 假數即得首率相對之假數 如一三九連比例三率任對設一之假 數為四三之假數為五九之假數為六 其遞加遞減之數皆為一以中率三相 對之假數五倍之得十内減首率一相 對之假數四即得末率九相對之假數 六若減末率九相對之假數六即得首 率一相對之假數四或以一之假數為 八三之假數為五九之假數為二其遞 加遞減之數皆為三以中率三相對之 假數五倍之内減首率一相對之假數 八即得末率九相對之假數二若減末 率九相對之假數二即得首率一相對 之假數八 明對數之原之三 凡眞數連比例幾率任對設遞加遞減之較相等之 假數其中隔位取比例四率其第二率相對之假 數與第三率相對之假數相加内減第一率相對 之假數亦得第四率相對之假數若減第四率相 對之假數亦得第一率相對之假數 如二四八十六三十二六十四一百二 十八二百五十六連比例幾率任對設 二之假數為一四之假數為二八之假 數為三十六之假數為四三十二之假 數為五六十四之假數為六一百二十 八之假數為七二百五十六之假數為 八其遞加遞減之數皆為一任取四八 六十四一百二十八之四率以二率八 相對之假數三與三率六十四相對之 假數六相加得九内減一率四相對之 假數二即得四率一百二十八相對之 假數七若減四率一百二十八相對之 假數七即得一率四相對之假數二 明對數之綱之一 凡假數皆可隨意而定然一之假數必定為○方與 眞數相應而眞數連比例率十百千萬皆為一但 遞進一位則其假數亦皆遞加一數 葢乘除之數始於一故一不用乘亦不 用除而加減之數始於○故○無可加 亦無可減也假數旣以加減代乘除故 一之假數必定為○而一與十十與百 百與千千與萬萬與十萬皆為加十倍 之相連比例率然其數皆為一但遞進 一位故一之假數定為○者十之假數 即定為一百之假數即定為二千之假 數即定為三萬之假數即定為四十萬 之假數即定為五百萬之假數即定為 六千萬之假數即定為七億之假數即 定為八亦皆遞加一數而假數即與位 數相同試以一百與一千相乘得十萬 為進二位以一百相對之假數二與一 千相對之假數三相加即得十萬相對 之假數五亦為加二數也以一十除一 千得一百為退一位以一十相對之假 數一與一千相對之假數三相減即得 一百相對之假數二亦為減一數也如 或以十之假數定為二百之假數定為 四千之假數定為六是為遞加二…