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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十七 末部七 難題 難題 算術之學不外於線面體其間比例相求或借根借 方等法既已分門别類於前然設問中有紆廻繁襍 之不同者非審詳明辨則何以得其統緒兹又探賾 鉤深編為難題一卷俾學者殫思觀變以不迷於入 算之方庶幾數理之微人心之巧由此引而伸之觸 類而長之將以窮天下之變亦不難也 設如甲乙丙三人值班甲三日一次乙四日一次丙 五日一次問三人何日同班 法以三日與四日相乘得十二日再與 五日相乘得六十日即三人同班之日 也此法葢因六十為三四五皆可以度 盡之數三與四相乘得十二日是甲乙 同班之日而不能與丙同班三與五相 乘得十五日是甲丙同班之日而不能 與乙同班四與五相乘得二十日是乙 丙同班之日而不能與甲同班惟六十 日為甲第二十次值班之日為乙第十 五次值班之日為丙第十二次值班之 日故為三人同班之日也 設如有錢不知總數以三數之餘二文以五數之餘 三文以七數之亦餘二文問錢總數幾何 法先以三數之率定為七十五數之率 定為二十一七數之率定為十五乃以 三數之率七十與餘二相乘得一百四 十以五數之率二十一與餘三相乘得 六十三以七數之率十五與餘二相乘 得三十三數相併得二百三十三又以 三五七遞乘得一百零五於二百三十 三内減兩次餘二十三即總錢數也此 法以三數之率定為七十者以其用七 數五數皆盡惟用三數之餘一也今以 餘二相乘得一百四十則是用七數五 數皆盡惟用三數之餘二矣以五數之 率定為二十一者以其用三數七數皆 盡惟用五數之餘一也今以餘三相乘 得六十三則是用三數七數皆盡惟用 五數之餘三矣以七數之率定為十五 者以其用三數五數皆盡惟用七數之 餘一也今以餘二相乘得三十則是用 三數五數皆盡惟用七數之餘二矣以 此三數相併自為三數餘二五數餘三 七數餘二之數又以三五七遞乘得一 百零五者此數用三五七皆可數盡故 二百三十三雖為三數餘二五數餘三 七數餘二之數然減去一百零五餘一 百二十八以三五七數之其所餘之數 仍同也即再減去一百零五餘二十三 以三五七數之其所餘之數亦同也是 以問數在一百零五以下必二十三如 問數在一百零五以上必一百二十八 或二百三十三如原數更在二百三十 三以上則遞加一百零五求之必有合 也至其作率之法不過一乘一減如以 三五七命算則以五七相乘得三十五 以三減之餘二不可為率以其所餘為 二難與他數相乘也故將三十五倍之 得七十以三減之餘一故七十即為三 數之率三七相乘得二十一以五減之 餘一故二十一即為五數之率三五相 乘得一十五以七減之餘一故十五即 為七數之率或以五數七數九數命算 皆倣此例推之 設如三人治田一人日耘七畝一人日耕三畝一人 日種五畝今令一人自耕自種自耘問一日治田 幾何 法以七畝三畝五畝連乘得一百零五 畝為治田總衰數以每日耘七畝除之 得十五日為耘田衰數以每日耕三畝 除之得三十五日為耕田衰數以每日 種五畝除之得二十一日為種田衰數 三數相併得七十一日為一率一百零 五畝為二率一日為三率得四率一畝 四分七釐有餘即每日自耕自種自耘 之數也此法葢因一日耘七畝則一百 零五畝湏耘十五日一日耕三畝則一 百零五畝湏耕三十五日一日種五畝 則一百零五畝湏種二十一日併之得 七十一日是一人自耕自種自耘治田 一百零五畝即知一日治田一畝四分 七釐有餘也 設如甲乙二人甲借乙本銀一千二百両已經還訖 仍欠四月利銀今乙又借甲銀八百両欲與前利 銀抵兑問得月數幾何 法以今借銀八百両為一率原借銀一 千二百両為二率原欠利銀四月作一 百二十日為三率得四率一百八十日 以三十日歸之得六月為所求之日數 也葢甲借乙之銀數多故月數少乙借 甲之銀數少故月數多而其利相等為 轉比例四率也 設如原買小布一疋長一丈八尺闊一尺三寸價一 錢一分七釐今買大布一疋長二丈五尺闊一尺 六寸問價幾何 法以原布長一丈八尺闊一尺三寸相 乘得二十三尺四十寸為一率價一錢 一分七釐為二率今布長二丈五尺闊 一尺六寸相乘得四十尺為三率求得 四率二錢即今布之價也凡物惟長不 同或惟闊不同則各以其長闊為比例 今長闊俱不同故以其長闊各相乘為 面與面之比例也 設如有銀三百九十六両令甲乙丙丁四人分之甲 得二分之一又多十両乙得五分之三内少二十 両丙得三分之一又多八両丁得四分之一内少 六両問四人各得銀數幾何 法先以總銀三百九十六両内減去甲 多十両丙多八両餘三百七十八両又 加乙少二十両丁少六両共得四百零 四両為各分之總銀數乃以甲分母二 乙分母五丙分母三丁分母四連乘之 得一百二十為總衰數於總衰一百二 十内取二分之一得六十為甲衰取五 分之三得七十二為乙衰取三分之一 得四十為丙衰取四分之一得三十為 丁衰併之得二百零二衰為一率以各 分總銀數四百零四両為二率一衰為 三率得四率二両乃以二両用甲衰六 十乘之得一百二十両加所多十両得 一百三十両即甲所分之銀數用乙衰 七十二乘之得一百四十四両内減所 少二十両餘一百二十四両即乙所分 之銀數用丙衰四十乘之得八十両加 所多八両得八十八両即丙所分之銀 數用丁…