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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十四 末部四 借根方比例 線類 設如有一竹竿長一丈欲分為大小兩分大分比小 分多四尺問大小分各幾何 法借一根為小分則大分即為一根多 四尺兩數相加得二根多四尺與一丈 相等二根既多四尺乃減去所多四尺 餘二根又於一丈内亦減去四尺餘六 尺是為二根與六尺相等二根既與六 尺相等則一根必與三尺相等前既借 一根為小分則三尺即小分再加四尺 得七尺即大分也
設如有銀三百四十三兩分給衆匠其為首一人所 得之銀與衆匠人數相等衆匠每人得銀六兩問 共人數幾何 法借一根為為首一人所得之銀數亦 即為衆匠之人數以衆匠之人數一根 與六兩相乗得六根為衆匠之銀數相 加得七根與三百四十三兩相等七根 既與三百四十三兩相等則一根必與 四十九兩相等即為首一人所得之銀 數亦即衆匠之人數以四十九人與六 兩相乗得二百九十四兩即衆匠所得 共銀數再加為首一人所得銀數四十 九兩得三百四十三兩以合原數也
設如有繩二條不言丈數但知其長短之比例同於 九與五其相差之較與短繩除長繩所得之數相 等問二繩各長若干 法借九根為長繩之數五根為短繩之 數兩數相減餘四根以五根除九根得 一八即一丈八尺是為四根與一丈八 尺相等四根既與一丈八尺相等則一 根必與四尺五寸相等九因之得四丈 零五寸即長繩數五因之得二丈二尺 五寸即短繩數以二丈二尺五寸與四 丈零五寸相減餘一丈八尺以二丈二 尺五寸除四丈零五寸亦得一丈八尺 也 設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀九十 兩乙丙共銀四十五兩甲丙共銀七十三兩問三 人各銀幾何 法借一根為三人之總銀數以甲乙共 銀九十兩計之則丙為一根少九十兩 以乙丙共銀四十五兩計之則甲為一 根少四十五兩以甲丙共銀七十三兩 計之則乙為一根少七十三兩三數相 加得三根少二百零八兩而與所借之 一根相等三根少二百零八兩與一根 各加二百零八兩得三根與一根多二 百零八兩相等 三根 與一根再各減一根則餘二根與二百 零八兩相等二根既與二百零八兩相 等則一根必與一百零四兩相等即三 人之總銀數總銀一百零四兩内減甲 乙共銀九十兩餘一十四兩為丙銀數 減乙丙共銀四十五兩餘五十九兩為 甲銀數減甲丙共銀七十三兩餘三十 一兩為乙銀數也
設如甲乙丙三人有銀不言數但知甲乙共銀數比 丙銀多六十八兩乙丙共銀數比甲銀多一百兩 丙甲共銀數比乙銀多一百二十四兩問三人各 銀幾何 法借二根為三人之總銀數以甲乙共 銀數比丙銀多六十八兩計之則甲乙 共銀為一根多三十四兩丙銀為一根 少三十四兩
以乙丙共銀數 比甲銀多一百兩計之則乙丙共銀為 一根多五十兩甲銀為一根少五十兩 以丙甲共銀數比乙銀多一百二十四 兩計之則丙甲共銀為一根多六十二 兩乙銀為一根少六十二兩乃以丙銀 一根少三十四兩甲銀一根少五十兩 乙銀一根少六十二兩三數相加得三 根少一百四十六兩而與所借之二根 相等三根少一百四十六兩與二根各 加一百四十六兩得三根與二根多一 百四十六兩相等三根與二根再各減 二根則餘一根與一百四十六兩相等 一根既與一百四十六兩相等則二根 必與二百九十二兩相等即三人之總 銀數前既以丙銀為一根少三十四兩 乃於一百四十六兩内減三十四兩餘 一百一十二兩即丙銀數甲為一根少 五十兩乃於一百四十六兩内減五十 兩餘九十六兩即甲銀數乙為一根少 六十二兩乃於一百四十六兩内減六 十二兩餘八十四兩即乙銀數也
設如有銀分賞衆人不言銀數亦不言人數但知第 一人得銀一兩又得餘銀之十分之一第二人得 銀二兩又得餘銀之十分之一第三人得銀三兩 又得餘銀之十分之一以下分賞之數皆準此例 所得之銀皆相等問人數及銀數各幾何 法借一根為第一人所得餘銀之數 則一兩多一根為第一人所得總銀數 又第一人得餘銀十分之一則餘銀必為 十根減去一根仍餘九根再於九根内 減去第二人所得之二兩為九根少二 兩以九根少二兩取其十分之一得十 分根之九少二錢與第二人之二兩相 加得二兩多十分根之九少二錢 為與第一人所得之一兩多一根 相等一兩多一根與二兩多十分根之 九少二錢各加二錢得一兩二錢多一 根與二兩多十分根之九相等多一根 與多十分根之九各減十分根之九餘 一兩二錢多十分根之一與二兩相等 一兩二錢與二兩又各減一兩二錢則 餘十分根之一與八錢相等十分根之 一既與八錢相等則一根必與八兩相 等即第一人所得餘銀之數乃以十因 之得八十兩又加第一人所得之一兩 共八十一兩即原共銀數第一人得一 兩又加餘銀八十兩之十分之一八兩 共為九兩第二人得二兩又加餘銀七 十兩之十分之一七兩亦共為九兩第 三人得三兩又加餘銀六十兩之十分 之一六兩亦共為九兩第四人得銀四 兩又加餘銀五十兩之十分之一五兩 亦共為九兩第五人得銀五兩又加餘 銀四十兩之十分之一四兩亦共為九 兩第六人得銀六兩又加餘銀三十兩 之十分之一三兩亦共為九兩第七人 得銀七兩又加餘銀二十兩之十分之 一二兩亦共為九兩第八人得銀八兩 又加餘銀十兩之十分之一一兩亦共 為九兩第九人得銀九兩銀盡無餘是 共九人每人得銀九兩皆相等也