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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十三 末部三 借根方比例 帶縱平方 借根方比例開帶縱平方其以長方之積用長闊之 較或和而求長闊之數皆與常法同但不立和縱較 縱之名惟有多根少根之號而毎根之數或爲長方 之闊或爲長方之長錯綜其名有十二種推究其實 總不出和較之兩端如云一平方多㡬根與幾真數 等或幾根多一平方與幾真數等或一平方與幾真 數少幾根等或幾根與幾真數少一平方等此四者 根皆較縱而其毎根之數皆長方之闊也如云一平 方少幾根與幾真數等或一平方少幾眞數與幾根 等或一平方與幾真數多幾根等或一平方與幾根 多幾眞數等此四者根亦皆較縱而其每根之數則 皆長方之長也如云一平方多幾真數與幾根等或 幾眞數多一平方與幾根等或幾真數與幾根少一 平方等或一平方與幾根少幾眞數等此四者根皆 和縱而其毎根之數或爲長方之長或爲長方之闊 也要之所謂一平方者即一正方而多幾根少幾根 即變正方而爲長方其眞數比平方多根者其毎根 爲闊眞數比平方少根者其每根爲長二者皆較縱 惟眞數比根少平方者則爲和縱也至於開之之法 皆以眞數爲長方積以根數爲縱 依面部帶縱平方法開之有較 縱者先求和有和縱者先求較其根爲長方之闊者 以和較相減折半而得每根之數 其根爲長方之長者以和較相加折半而得 每根之數也俱詳設如 設如有一平方多二根與二十四尺相等問每一根 之數幾何 法以二十四尺爲長方積二根爲縱多 二尺用帶縱較數開平方法算之將積 數四因加縱多自乘之數得一百尺開 平方得十尺爲和減較二尺餘八尺折 半得四尺爲一根之數即長方之闊加 較二尺得六尺即長方之長也如圖甲 乙丙丁長方形共積二十四尺甲乙四 尺爲一根爲闊甲丁六尺爲長戊丁二 尺爲縱多甲乙己戊爲一平方戊己丙 丁爲二根是甲乙丙丁二十四尺内有 甲乙己戊之一平方又有戊己丙丁之 二根故云一平方多二根與二十四尺 相等也若以積計之則積之多於平方 者爲戊己丙丁之二根若以邊計之則 長多於闊者爲戊丁之二尺故以二根 即作二尺爲縱多也此法錯綜其名則 爲四種一平方多二根與二十四尺相 等一也如二根多一平方亦必與二十 四尺相等又一也若於一平方多二根 與二十四尺各减去二根則爲一平方 與二十四尺少二根相等此又其一也
又如一平方多二根與 二十四尺各减去一平方則爲二根與 二十四尺少一平方相等此又其一也
此四者名雖不同合而 觀之總爲眞數比一正方多根數故知 其爲較縱而每根之數爲闊也 設如有一平方少四根與四十五尺相等問每一根 之數幾何 法以四十五尺爲長方積四根爲縱多 四尺用帶縱較數開平方法算之將積 數四因加縱多自乘之數得一百九十 六尺開平方得十四尺爲和加較四尺 得十八尺折半得九尺爲一根之數即 長方之長減較四尺得五尺即長方之 闊也如圖甲乙丙丁長方形共積四十 五尺甲乙九尺爲一根爲長甲丁五尺 爲闊甲戊與甲乙等丁戊四尺爲縱甲 乙己戊爲一平方丁丙己戊爲四根於 甲乙己戊平方内減去丁丙己戊之四 根則餘甲乙丙丁四十五尺故云一平 方少四根與四十五尺相等也若以積 計之則積之少於平方者爲丁丙己戊 之四根若以邊計之則闊少於長者爲 丁戊之四尺故以四根作四尺爲縱多 也此法錯綜其名亦爲四種一平方少 四根與四十五尺相等一也如一平方 少四十五尺亦必與四根相等又一也 若於一平方少四根與四十五尺各加 四根則爲一平方與四十五尺多四根 相等此又其一也 如一平 方亦必與四根多四十五尺相等此又 其一也此四者名雖不同合而觀之總 爲真數比一正方少根數故知其爲較 縱而其每根之數爲長也 設如有一平方多三十六尺與十三根相等問每一 根之數幾何 法以三十六尺爲長方積十三根爲和 十三尺用帶縱和數開平方法算之將 積數四因與和自乘數相減餘二十五 尺開平方得五尺爲較與和十三尺相 减餘八尺折半得四尺爲一根之數即 長方之闊加較五尺得九尺即長方之 長也如圖甲乙丙丁長方形共積三十 六尺甲乙四尺爲一根爲闊甲丁九尺 爲長甲戊十三尺爲和甲乙己戊爲十 三根丁丙己戊爲一平方是甲乙己戊 十三根内有甲乙丙丁三十六尺又有 丁丙己戊一平方故云一平方多三十 六尺與十三根相等也若以積計之則 積三十六尺與一平方相加共得甲乙 己戊之十三根若以邊計之則長九尺 與闊四尺相加得甲戊之十三尺故將 十三根作十三尺爲和也此法錯綜其 名亦爲四種一平方多三十六尺與十 三根相等一也如三十六尺多一平方 亦必與十三根相等又一也若於一平 方多三十六尺與十三根各减去三十 六尺則爲一平方與十三根少三十六 尺相等此又其一也
又如一平方多三十六尺與十三根各 减去一平方則爲三十六尺與十三根 少一平方相等此又其一也