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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三十二 末部二 借根方比例 開諸乘方法 借根方比例法中開各乘方爲最要其算線部借根 算面部借平方算體部借立方以及多乘方雖各按 其類然有法屬線類而仍須諸乘方算者故諸乘方 之法宜審也葢諸乘方之形體不同開法之難易迥 别總以廉法之多少而分平方之廉最少故最易立 方之廉較多故較難自三乘以至多乘其廉愈多則 其法愈難今自平方以至九乘方俱専立一法在平 方立方所省不多而三乘方以後則甚爲簡捷至於 諸乘方中亦有可以用平方立方之法代開者如三 乘方與平方自乘之數等故可以平方兩次開之五 乘方與平方自乘再乘之數等亦與立方自乘之數 等故可以平方開之繼以立方開之七乘方與平方 兩次自乘之數等故可以平方三次開之八乘方與 立方自乘再乘之數等故可以立方兩次開之九乘 方與四乘方自乘之數等故可以平方開之繼以四 乘方開之惟四乘方及六乘方與平方立方之數皆 不相合故不可以平方立方之法代開也又諸乘方 次商之數最難定今自立方至九乘方俱爲立根數 兩位之表若根數兩位者以積數撿表即得更爲便 捷至於十乘方以後並可以此法御之但其數繁衍 而無所用兹故不載焉 平方 設如有平方積一萬五千一百二十九尺開平方問 每一根之數幾何 法列方積一萬五千一百二十九尺自 末位起算每方積二位定方根一位故 隔一位作記乃於九尺上定單位一百 尺上定十位一萬尺上定百位其一萬 尺爲初商積與一百自乘之數相合即 定初商爲一百尺書於方積一萬尺之 上而以初商一百尺自乘之一萬尺書 於初商積之下相減恰盡爰以方根第 二位積五千一百尺續書於後爲次商 廉隅之共積而以初商之一百尺倍之 得二百尺爲次商廉法以除次商積足 二十倍即定次商爲二十尺書於方積 一百尺之上合初商共一百二十尺自 乘得一萬四千四百尺與原積相減餘 七百尺爰以方根第三位積二十九尺 續書於後共七百二十九尺爲三商廉 隅之共積而以初商次商之一百二十 尺倍之得二百四十尺爲三商廉法以 除三商積足三倍即定三商爲三尺書 於方積九尺之上合初商次商共一百 二十三尺自乘得一萬五千一百二十 九尺與原積相減恰盡是開得一百二 十三尺爲平方每一根之數也此法止 用廉法除餘積得次商即併初商數自 乘得數復與原積相減與常法不同然 自三乘方以至多乘方則廉法條例甚 繁難於布算用此法甚爲省便在平方 立方不覺其省 而在多乘方所省實多葢各設一例以 備體也 立方 設如有立方積四千一百零六萬三千六百二十五 尺開立方問每一根之數幾何 法列方積四千一百零六萬三千六百 二十五尺自末位起算每方積三位定 方根一位故隔二位作記乃於五尺上 定單位三千尺上定十位一百萬尺上 定百位其四千一百萬尺爲初商積與 三百自乘再乘之數相準即定初商爲 三百尺書於方積一百萬尺之上而以 三百尺自乘再乘之二千七百萬尺書 於初商積之下相減餘一千四百萬尺 爰以方根第二位餘積六萬三千尺續 書於後共一千四百零六萬三千尺爲 次商廉隅之共積而以初商之三百尺 自乘得九萬尺三因之得二十七萬尺 爲次商廉法以除次商積足四十倍即 定次商爲四十尺書於方積三千尺之 上合初商共三百四十尺自乘再乘得 三千九百三十萬四千尺與原積相減 餘一百七十五萬九千尺爰以方邊第 三位餘積六百二十五尺續書於後共 一百七十五萬九千六百二十五尺爲 三商廉隅之共積而以初商次商之三 百四十尺自乘得一十一萬五千六百 尺三因之得三十四萬六千八百尺爲 三商廉法以除三商積足五倍即定三 商爲五尺書於方積五尺之上合初商 次商共三百四十五尺自乘再乘得四 千一百零六萬三千六百二十五尺與 原積相減恰盡是開得三百四十五尺 爲立方每一根之數也 又用表開法列積四千一百零六萬三 千六百二十五尺自末位起算隔二位 作記定位同前乃截方根第二位以前 積四一○六三爲初商次商之積於表 中取比此數相近略小之數爲三九三 ○四其所對初商根爲 三次商根爲四即將三四書於初商次 商之位而以三九三○四書於初商次 商積之下相減餘一七五九乃以三九 三○四格内三商廉法三四六除餘積 一七五九足五倍即定三商爲五書於 三商之位合初商次商共三百四十五 自乘再乘得四千一百零六萬三千六 百二十五尺與原積相減恰盡即定立 方根爲三百四十五尺也 三乘方 設如有三乘方積一千零三十三億五千五百一十 七萬七千一百二十一尺開三乘方問每一根之 數幾何 法列方積一千零三十三億五千五百 一十七萬七千一百二十一尺自末位 起算每方積四位定方根一位故隔三 位作記乃於一尺上定單位七萬尺上 定十位三億尺上定百位其一千零三 十三億尺爲初商積與五百乘三次之 數相準即定初商爲五百尺書於方積 三億尺之上而以五百尺乘三次之六 百二十五億尺書於初商積之下相減 餘四百零八億尺爰以方根第二位積 五千五百一十七萬尺續書於後共四 百零八億五千五百一十七萬尺爲次 商廉隅之共積而以初商之五百尺乘 二次得一億二千五百萬尺四因之得 五億尺爲次商廉法以除次商積足八 十倍因定次商爲八十尺合初商共五 百八十尺乘三次得一千一百三十…