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欽定四庫全書 御製數理精蘊下編卷二十九 體部七 各等面體互容 更體形 各等面體互容 設如正方體每邊一尺二寸求内容四面體之每一 邊幾何 法以正方體每邊一尺二寸自乗得一 尺四十四寸倍之得二尺八十八寸開 平方得一尺六寸九分七釐零五絲六 忽二微有餘即正方體内容四面體之 每一邊也如圖甲乙丙丁正方體内容 丁甲戊己四面體以四面體之六稜切 於正方體之六面則四面體之每一邊 即為正方體之每一面之對角斜線故 用方邊求斜弦之法以一邊自乗倍之 開平方即得内容四面體之每一邊也 如有四面體之一邊求外切正方體之 一邊則用斜弦求方邊法以四面體之 一邊自乗折半開平方即得外切正方 體之每一邊也 設如正方體每邊一尺二寸求内容八面體之每一 邊幾何 法以正方體每邊一尺二寸自乗得一 尺四十四寸折半得七十二寸開平方 得八寸四分八釐五豪二絲八忽一微 有餘即正方體内容八面體之每一邊 也如圖甲乙丙丁正方體内容戊己庚 辛壬癸八面體以八面體之六角切於 正方體之六面則正方體之每一邊即 與内容八面體之對角斜線等 故用斜弦求方邊之法以一邊自乗折 半開平方即得内容八面體之每一邊 也如有八面體之一邊求外切正方體 之一邊則用方邊求斜弦法以八面體 之一邊自乗加倍開平方即得外切正 方體之每一邊也 設如正方體每邊一尺二寸求内容十二面體之每 一邊幾何 法以理分中末線之全分一○○○○ ○○○○為一率小分三八一九六六 ○一為二率今所設之正方體每邊一 尺二寸為三率求得四率四寸五分八 釐三豪五絲九忽二微有餘即正方體 内容十二面體之每一邊也如圖甲乙 丙丁正方體内容戊己庚辛壬癸十二 面體以十二面體之六稜切於正方體 之六面則方正體之每邊與十二面體 之兩邊相對之線等 而正方體之每邊之半即為十二 面體中心至每邊正中之斜線試將十 二面體之正中截之則成十等邊之面 形而其所截之處皆正當每邊之一半 故其所截之子丑等線亦為戊己兩角 相對斜線之一半而為十等邊形之一 邊其子寅外切圜之半徑為中心至每 邊正中之斜線即正方體每邊之一半 子寅即如理分中末線之全分子丑即 如理分中末線之大分而戊子每邊之 半即如理分中末線之小分 故全分與小分之比同於今所設之 正方體每邊之半與内容十二面體每 邊之半之比即同於今所設之正方體 之一邊與内容十二面體之一邊之比 也如有十二面體之一邊求外切正方 體之一邊則以十二面體之一邊為理 分中末線之小分比例得全分即外切 正方體之每一邊也 設如正方體每邊一尺二寸求内容二十面體之每 一邊幾何 法以理分中末線之全分一○○○○ ○○○○為一率大分六一八○三三 九九為二率今所設之正方體每邊一 尺二寸為三率求得四率七寸四分一 釐六豪四絲零七微有餘即正方體内 容二十面體之每一邊也如圖甲乙丙 丁正方體内容戊己庚辛壬癸二十面 體以二十面體之六稜切於正方體之 六面則正方體之每邊與二十面體之 兩邊相對之線等即二十面體戊庚兩 角相對之斜線試自二十面體之戊庚 二角類對角平截之則所截之面成戊 己庚子丑五等邊之面形戊庚兩角相 對斜線即如理分中末線之全分庚子 一邊即如理分中末線之大分 故全分與大分之比即同於 今所設之正方體之毎一邊與内容二 十面體之每一邊之比也如有二十面 體之一邊求外切正方體之一邊則以 二十面體之一邊為理分中末線之大 分比例得全分即外切正方體之每一 邊也 設如四面體毎邊一尺二寸求内容正方體之每一 邊幾何 法以四面體每邊一尺二寸自乗得一 尺四十四寸三歸二因得九十六寸開 平方得九寸七分九釐七豪九絲五忽 八微有餘為四面體自尖至底中心之 立垂線折半得四寸八分九釐八豪九 絲七忽九微有餘為四面體内容圓球 全徑乃用求球内容正方體之每一邊 法以球徑自乗三歸開平方得二寸八 分二釐八豪四絲二忽七微有餘即四 面體内容正方體之每一邊也如圖甲 乙丙四面體内容丁戊己庚辛壬正方 體以正方體之丁己辛癸四角切於四 面體各面之中心則四面體中心至每 一面中心之立垂線即正方體中心至 角之斜線四面體内容圓球徑即正方 體外切圓球徑故先求得四面體内容 圓球徑又求得球内容正方體之一邊 即四面體内容正方體之一邊也 又法以四面體每邊一尺二寸自乗得 一百四十四寸以十八歸除之得八寸 開平方得二寸八分二釐八豪四絲二 忽七微有餘即四面體内容正方體之 每一邊也此法與前法同蓋四面體之 自尖至底中心之立垂線自乗方為每 邊自乗方之三分之二内容圓 球徑為立垂線之一半則内 容圓球徑自乗方為立垂線自乗方之 四分之一即為毎邊自乗方之六分之 一而圓球内容正方體之每邊自乗方 又為圓球徑自乗方之三分之一故内 容正方體之每邊自乗方為四面體之 每邊自乗方之十八分之一也如有正 方體之一邊求外切四面體之一邊則 以正方體之毎邊自乗以十八乗之開 平方即得外切四面體之每一邊也 設如四面體每邊一尺二寸求内容八面體之每一 邊幾何 法以四面體每邊一尺二寸折半得六 寸即四面體内容八面體之每一邊也 如圖甲乙丙四面體内容丁戊己庚辛 壬八面體以…