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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷二十六 體部四 曲線體 曲線體 設如長圎體徑與髙皆七尺問積㡬何 法以長圎體徑七尺用求圎面積法求 得圎面積三十八尺四十八寸四十五 分零九釐九十六豪二十五絲有餘以 髙七尺乗之得二百六十九尺三百九 十一寸五百六十九分七百三十七釐 有餘即長圎體之積也如圗甲乙丙丁 長圎體先以乙丙底徑求得乙己丙戊 圎面積而以庚辛髙乗之即得甲乙丙 丁長圎體之積也 又法以長圎體徑七尺用徑求周法求 得圎周二十一尺九寸九分一釐一豪 四絲八忽五微五纖有餘與髙七尺相 乗得一百五十三尺九十三寸八十分 三十九釐八十五豪有餘為長圎體之 外面積以半徑三尺五寸乗之得五百 三十八尺七百八十三寸一百三十九 分四百七十五釐有餘折半得二百六 十九尺三百九十一寸五百六十九分 七百三十七釐有餘即長圎體之積也 如圗甲乙丙丁長圎體先求得乙己丙 戊圎周與甲乙髙相乗得甲乙丙丁外 面積為底以庚甲半徑乗之得庚甲丙 辛長方體為甲乙丙丁長圎體積之二 倍葢因長圎體之外面積與長方體之 底面積等而長圎體之半徑又與長方 體之髙度等則長圎體為長方體之一 半故折半即得甲乙丙 丁長圎體之積也 又法用長方體長圎體之定率比例以 長方體積一○○○○○○○○○為 一率長圎體積七八五三九八一六三 為二率今所設之長圎體徑七尺自乗 以髙七尺再乗得三百四十三尺為三 率求得四率二百六十九尺三百九十 一寸五百六十九分九百零九釐有餘 即長圎體之積也此法葢以長方體與 長圎體為比例定率之一○○○○○ ○○○○為長方體積而七八五三九 八一六三為長方體同髙同徑之長圎 體積故以徑自乗髙再乗得長方體積 彼定率之長方體與長圎體之比即同 於今所得之長方體積與所求之長圎 體積之比也 設如尖圎體底徑六尺中髙六尺問積㡬何 法以底徑六尺用求圎面積法求得底 面積二十八尺二十七寸四十三分三 十三釐八十五豪有餘以髙六尺乗之 得一百六十九尺六百四十六寸三分 一百釐有餘三歸之得五十六尺五百 四十八寸六百六十七分七百釐有餘 即尖圎體之積也如圗甲乙丙丁戊尖 圎體先以乙丁底徑求得乙丙丁戊底 面積以甲己髙乗之得庚乙丁辛長圎 體為甲乙丙丁戊尖圎體之三倍葢因 上下面平行各體與平底尖體同底同 髙者其平底尖體皆得上下面平行體 之三分之一故以所得 庚乙丁辛長圎體積三歸之即得甲乙 丙丁戊尖圎體積也 又法用尖方體尖圎體之定率比例以 尖方體積一○○○○○○○○○為 一率尖圎體積七八五三九八一六三 為二率今所設之尖圎體底徑六尺自 乗以髙六尺再乗得二百一十六尺三 歸之得七十二尺成尖方體積為三率 求得四率五十六尺五百四十八寸六 百六十七分七百三十六釐有餘即尖 圎體之積也蓋尖方體為長方體之三 分之一而尖圎體為長圎體之三分之 一故尖方體與尖圎體之比即同於長 方體與長圎體之比也 又捷法定率比例以長方體積一○○ ○○○○○○○為一率尖圎體積二 六一七九九三八八為二率今所設之 尖圎體底徑六尺自乗以髙六尺再乗 得二百一十六尺為三率求得四率五 十六尺五百四十八寸六百六十七分 八百零八釐有餘即尖圎體之積也此 法葢以長方體與尖圎體為比例長方 體積為一○○○○○○○○○則長 圎體積為七八五三九八一六三將此 長圎體積三歸之則得尖圎體積為二 六一七九九三八八故定率之長方體 與尖圎體之比即同於今底徑自乗髙 再乗所得之長方體積與所求之尖圎 體積之比也 設如尖圎體底周二十二尺自尖至底周之斜線五 尺求中垂線之髙幾何 法以底周二十二尺用周求徑法求得 底徑七尺零二釐八豪一絲七忽有餘 折半得半徑三尺五寸零一釐四豪零 八忽有餘為勾以自尖至底周之斜線 五尺為弦求得股三尺五寸六分九釐 三豪三絲三忽有餘即中垂線之髙也 如圗甲乙丙丁戊尖圎體以乙丙丁戊 底周求得乙丁底徑折半得乙巳半徑 為勾以自尖至底周之甲乙斜線為弦 求得甲巳股即中垂線之髙也 設如圎球徑二尺問外面積幾何 法以圎球徑二尺用徑求周法求得周 六尺二寸八分三釐一豪八絲五忽有 餘與徑二尺相乗得一十二尺五十六 寸六十三分七十釐有餘即圎球之外 面積也如圗甲乙丙丁圎球體以甲丙 全徑與甲乙丙丁全周相乗即得圎球 體之外面積葢因圎面半徑與球體半 徑等者其圎面積為球體外面積之四 分之一而圎面半徑與球體全徑等者 其圎面積與球體外面積等 故圎球全徑與全周相乗而得圎球 之外面積也 設如圎球徑一尺二寸問積幾何 法以圎球徑一尺二寸用徑求圎面積 法求得圎面積一尺一十三寸零九分 七十三釐三十五豪四十絲有餘以圎 球徑一尺二寸乗之得一尺三百五十 七寸一百六十八分零二十四釐有餘 為長圎體積三歸之得四百五十二寸 三百八十九分三百四十一釐有餘倍 之得九百零四寸七百七十八分六百 八十二釐有餘即圎球之體積也如圗 甲乙丙丁圎球體求得戊己庚辛平圎 面積以甲丙全徑乗之得與圎球同徑 同髙之壬戊庚癸長圎體此球體之乙 丁全徑與長圎體之戊庚底徑度等而 球體之甲丙全徑又與長圎體之壬戊 髙度等則球體積為長圎體積之三分 之二…