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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷二十五 體部三 各體形總論 直線體 各體形總論 體之為形成於面面之相合為厚角故凡體形皆自 厚角所合而生面之所合不能成厚角則體亦不能 成形惟渾圓則無角然求積之法亦合衆尖體而成 渾圓是雖無角而實賴於角也方體有正方斜方尖 方方環陽馬塹堵之異圓體則有渾圓長圓尖圓之 殊至於各等面體惟成於三角四角五角之面而兼 盡乎方圓之理函於圓者其角切於球之外面函圓 者球之外面切於各面之中心而各體又有互相容 之妙因其各面皆等故其中心至每邊之線皆同就 其各形而分視之則成各等邊面形因其各形而細 剖之則成各同底尖體形然求積總以勾股為準則 葢體成於面面生於線理固然也有積求邊則必以 方圓為比例是以邊線等者體積不等如圓球徑與 各等面體之一邊俱設為一○○○則正方體積為 一○○○○○○○○○圓球體積為五二三五九 八七七五四面體積為一一七八五一一二九八面 體積為四七一四○四五二一十二面體積為七六 六三一一八九○三二十面體積為二一八一六九 四九六九此各形之體積皆以方積比例者也或以 圓球體積設為一○○○○○○○○○則圓球徑 得一二四○小餘七○○九八如圓球徑與各等面 體之一邊俱設為一二四○小餘七○○九八則圓 球體積為一○○○○○○○○○正方體積為一 九○九八五九三一七四面體積為二二五○七九 ○七七八面體積為九○○三一六三一七十二面 體積為一四六三五四七九○五一二十面體積為 四一六六七三○四六三此各形之體積皆以球積 比例者也葢因各形之邊線相等體積不同故皆定 為體與體之比例也體積等者邊線不等如圓球體 積與各等面體積俱設為一○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○則正方體之 每邊為一○○○○○○○○而圓球徑為一二四 ○七○○九八四面體之每邊為二○三九六四八 九○八面體之每邊為一二八四八九八二九十二 面體之每邊為五○七二二二○七二十面體之每 邊為七七一○二五三四此各形之邊線皆以方邊 比例者也或以圓球徑設為一○○○○○○○○ 則圓球體積為五二三五九八七七五五九八二九 八八七三○七一九二三如圓球體積與各等面體 積俱設為五二三五九八七七五五九八二九八八 七三○七一九二三則圓球徑為一○○○○○○ ○○正方體之每邊為八○五九九五九七四面體 之每邊為一六四三九四八八一八面體之每邊為 一○三五六二二八五十二面體之每邊為四○八 八一八九五二十面體之每邊為六二一四四三三 二此各形之邊線皆以球徑比例者也葢因各形之 體積相等邊線不同故皆定為線與線之比例也要 之邊求積者亦皆本於勾股而積求邊者一皆歸之 正方此方所以為立法之原入算之本也 直線體 設如正方體每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾 何 法以每邊二尺自乘再乘得八尺倍之 得一十六尺開立方得二尺五寸一分 有餘即所求之方邊數也如圖甲乙丙 丁正方體每邊二尺其體積八尺倍之 得一十六尺即如戊己庚辛正方體積 每邊得二尺五寸一分有餘試於戊己 庚辛正方體形内作甲乙丙丁正方體 形則其外之戊己乙甲壬丁丙庚辛癸 磬折體形即與甲乙丙丁正方體積相 等也 設如正方體每邊二尺今將其積八倍之問得方邊 幾何 法以每邊二尺倍之得四尺即所求之 方邊數也如圖甲乙丙丁正方體每邊 二尺其體積八尺八倍之得六十四尺 即如戊己庚辛正方體積其每邊得甲 乙丙丁正方形每邊之二倍是故不用 八倍其積開立方止以毎邊二尺倍之 而即得也此法葢因兩體積之比例比 之兩界之比例為連比例隔二位相加 之比例故戊己庚辛正方 體積六十四尺與甲乙丙丁正方體積 之八尺相比為八分之一而戊己庚辛 正方邊之四尺與甲乙丙丁正方邊之 二尺之比為二分之一夫六十四與三 十二三十二與十六十六與八八與四 四與二皆為二分之一之連比例而六 十四與八之比其間隔三十二與十六 之兩位故為連比例隔二位相加之比 例也 設如長方體長一尺二寸闊八寸高四寸今將其積 倍之仍與原形為同式形問得長闊高各幾何 法以長一尺二寸自乘再乘得一尺七 百二十八寸倍之得三尺四百五十六 寸開立方得一尺五寸一分一釐有餘 即所求之長既得長乃以原長一尺二 寸為一率原闊八寸為二率今所得之 長一尺五寸一分一釐有餘為三率求 得四率一尺零七釐有餘即所求之闊 也又以原長一尺二寸為一率原高四 寸為二率今所得之長一尺五寸一分 一釐有餘為三率求得四率五寸零三 釐有餘即所求之高也或以闊八寸自 乘再乘倍之開立方亦得一尺零七釐 有餘為所求之闊以高四寸自乘再乘 倍之開立方亦得五寸零三釐有餘為 所求之高也如圖甲乙丙丁長方體甲 乙高四寸丁戊闊八寸甲戊長一尺二 寸將其積倍之即如己庚辛壬長方體 此兩長方體積之比例即同於其相當 二界各作兩正方體積之比例 故依甲乙丙丁長方體之甲戊長 界作甲戊丑子正方體將其積倍之即 如己庚辛壬長方體之己癸長界所作 之己癸卯寅正方體故開立方得己癸 為所求之長也既得己癸之長則以甲 戊與丁戊之比即同於己癸與壬癸之 比得壬癸為所求之闊又甲戊與甲乙 之比同於己癸與己庚之比得己庚為 …