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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷二十四 體部二 帶縱較數立方 帶縱和數立方 帶縱較數立方 帶縱立方者兩兩等邊長方體積也高與闊相等惟 長不同者為帶一縱立方長與闊相等而皆比高多 者則為帶兩縱相同之立方至於長與闊與髙皆不 等者則為帶兩縱不同之立方開之之法大㮣與立 方同祗有帶縱之異耳其帶一縱之法如以髙與闊 相等惟長不同為問者則以初商為髙與闊以之自 乘又以初商加縱數為長以之再乘得初商積至次 商以後亦有三方亷三長亷一小隅但其一方亷附 於初商積之方面者即初商數其二方亷附於初商 積之長面者則帶縱也其二長亷附於初商積之方 邊者即初商數其一長亷附於初商積之長邊者則 帶縱也其帶兩縱相同之法如以長與闊相等皆比 髙多為問者則以初商加縱數為長與闊以之自乘 又以初商為髙以之再乘得初商積至次商以後其 一方亷附於初商積之正面者則帶兩縱其二方亷 附於初商積之旁面者則各帶一縱也其一長亷附 於初商積之髙邉者即初商數其二長亷附於初商 積之長闊兩邊者則各帶一縱也其𢃄兩縱不同之 法如以闊比髙多長比闊又多為問者則以初商為 髙又以初商加闊縱為闊與髙相乘又加長縱為長 以之再乘得初商積至次商以後其一方亷附於初 商積之正面者則𢃄兩縱其二方亷附於初商積之 旁面者則一𢃄闊縱一𢃄長縱也其一長亷附於初 商積之髙邊者即初商數其二長亷附於初商積之 長闊兩邊者則各𢃄一縱也惟小隅則無論𢃄一縱 兩縱皆各以所商之數自乘再乘成一小正方其每 邊之數即三方亷之厚亦即三長亷之闊與厚焉凡 有幾層亷隅皆依次商之例遞析推之法雖不一要 皆本於正方而後加𢃄縱故凡商出之數皆為小邊 方體共十二邊若𢃄一縱或𢃄兩縱相同者則八邊 相等四邊相等若𢃄兩縱不同者則每四邊各相等 是故得其一邊加入縱多即得各邊也 設如𢃄一縱立方積一百一十二尺其髙與闊相等 長比髙闊多三尺問髙闊長各幾何 法列積如開立方法商之其積一百一 十二尺止可商四尺乃以四尺書於原 積二尺之上而以所商四尺為髙與闊 加縱多三尺得七 尺為長即以髙與闊四尺自乗得一十 六尺又以長七尺再乗得一百一十二 尺書於原積之下相減恰盡是知立方 之髙與闊俱四尺加縱多三尺得七尺 即立方之長也如圖甲乙丙丁戊己長 方體形容積一百一十二尺其甲乙為 髙甲已為闊己戊為長甲乙甲已俱四 尺己戊為七尺己戊比己庚多三尺即 所𢃄之縱甲乙壬辛庚己正方形即初 商之正方積庚辛壬丙丁戊扁方形即 帶縱所多之扁方積也葢因此法髙與 闊俱止一位其積止一位之積故初商 所得即髙與闊之邊加入縱多即為長 邊也凡有帶一縱無次商者依此法開 之 設如𢃄一縱立方積二千四百四十八尺其髙與闊相 等長比髙闊多五尺問髙闊長各幾何 法列積如開立方法商之其二千尺為 初商積可商十尺乃以十尺書於原積 二千尺之上而以所商十尺為初商之 髙與闊加縱多五尺得十五尺為初商 之長即以初商之髙與闊十尺自乗得 一百尺又以初商之長十五尺再乗得 一千五百尺書於原積之下相減餘九 百四十八尺為次商亷隅之共積乃以 初商之髙與闊十尺自乗得一百尺 又以初商之髙與闊十尺與初 商之長十五尺相乗得一百五十尺倍 之得三百尺兩數 相併得四百尺為次商三方亷面積以 除次商亷隅之共積九百四十八尺足 二尺則以二尺書於原積八尺之上而 以初商之髙與闊十尺倍之得二十尺 與初商之長十五尺相併 得三十五尺以次商之二尺乘 之得七十尺為次商三長亷面積又以 次商之二尺自乘得四尺為次商一小 隅面積合三方亷三長亷一小隅面積 共得四百七十四尺為亷隅共法以次 商之二尺乘之得九百四十八尺書於 餘積之下相減恰盡是知立方之髙與 闊俱一十二尺加縱多五尺得一十七 尺即立方之長也如圖甲乙丙丁長方 體形容積二千四百四十八尺其甲乙 髙甲戊闊皆十二尺甲己長十七尺甲 已比庚已所多甲庚五尺即縱多之數 其從一角所分辛乙癸壬長方體形壬 癸與辛乙皆十尺即初商數壬辛十五 尺即初商加縱多之數辛乙癸壬長方 積一千五百尺即初商自乗又以初商 加縱多再乘之數所餘子形丑形寅形 為三方廉其中寅形為一正方廉每邊 十尺即初商數子形丑形為二長方廉 每闊十尺長十五尺其長比闊多五尺 即縱多之數其厚皆二尺即次商數卯 形辰形巳形為三長廉其辰形巳形皆 長十尺即初商數夘形比辰形巳形皆 長五尺即縱多之數其闊與厚皆二尺 亦即次商數其巳形一小正方體為隅 其長闊與高皆二尺亦即次商數合子 丑寅三方廉夘辰巳三長廉巳一小方 隅共成一磬折體形附於初商長方體 之三面而成甲乙丙丁之總長方體積 也三商以後皆倣此遞析開之 又法以初商積二千尺商十尺書於原 積二千尺之上而以所商十尺為初商 之高與闊加縱多五尺得十五尺為初 商之長即以初商之高與闊十尺自乘 得一百尺又以初商之長十五尺再乘 得一千五百尺書於原積之下相減餘 九百四十八尺為次商積乃以初商之 髙與闊十尺自乘得一百尺又以初商 之髙與闊十尺與初商之長十五尺相 乘得一百五十尺倍之得三百尺兩數 相併得四百尺為次商三方亷面積以 除次商積九百四十八尺足二尺則以 二尺書於原積八尺之上合…