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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷二十三 體部一 立方 立方 立方者等邊六面之體積也以形而言雖為六面十 二邊之所合以積而言則為自乗再乗之數因其縱 横與髙俱相等故十二邊皆如一線得其一邊而十 二邊莫不相同其積之也自線而面自面而體次第 相乗而後得其全積其開之也必次第析之而後得 其一邊是故古人立為方廉長廉之制每積三位而 得邊之一位所謂一千商十定無疑三萬纔為三十 餘九十九萬不離十百萬方為一百推是也其法先 從一角而剖其體以自一至九自乗再乗之數為方 根與實相審量其足減者而定之是為初商初商減 盡無餘則方根止一位若有餘實即初商方積外别 成一缺角三面磬折體其附初商之三面者謂之方 廉其附初商之三邊者謂之長廉其附初商之角者 謂之隅廉有三故以三為廉法隅惟一而隅之三面 即符於三長廉之端合三方廉三長廉一隅始合次 商之數故商除之法以初商自乗三因為三方廉面 積視初商餘實足方廉面積幾倍即定為次商乃以 次商乗三長廉為三長廉面積又以次商自乗為小 隅面積共合三方廉三長廉及一小隅面積以次商 數乗之為次商廉隅之共積所謂初商方積外别成 一缺角三面磬折體者是也如次商外尚有不盡之 實則初商次商方積外仍為三方廉三長廉一小隅 又成一三面磬折體但較前方廉愈大長廉愈長而 隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照次商之例逓析之實 盡而止如開至多位實仍不盡者必非自乗再乗之 正數此開立方之定法也體形不一而容積皆以立 方為準故立方為算諸體之本諸體必通之立方而 法乃可施也 設如正方體積一百二十五尺開立方問毎一邊數 幾何 法列正方體積一百二十五尺自末位 起算每方積三位定方邊一位今積止 有三位則於五尺上作記定單位以自 一至九自乗再乗之方根數與之相審 知與五尺自乗再乗之數恰合乃以五 尺書於方積五尺之上而以五尺自乗 再乗之一百二十五尺書於方積原數 之下相減恰盡即得開方之數為五尺 也如圖甲乙丙丁戊己正方體形毎邊 皆五尺其中函一尺小方體一百二十 五自邊計之為五尺自面計之則為五 尺自乗之二十五尺自通體計之則為 五尺自乗再乗之一百二十五尺以積 開之則與五尺自乗再乗之數相準故 商除之恰盡也蓋方積為三位是以方 邊止一位方積即五尺自乗再乗之數 别無廉隅故不用次商如有餘實則自 成廉隅而用次商矣 設如正方體積一丈七百二十八尺開立方問每一 邊數幾何 法列正方體積一丈七百二十八尺自 末位起算每方積三位定方邊一位故 隔二位作記即於八尺上定尺位一丈 上定丈位其一丈為初商積與一丈自 乗再乗之數相合即定初商為一丈書 於方積一丈之上而以一丈自乗再乗 之一丈書於初商積之下相減恰盡爰 以方邊末位餘積七百二十八尺續書 於下 為次商廉隅之共積乃以初商之一丈 作一十尺自乗得一百尺三因之得三 百尺為次商三方廉面積以除方積七 百二十八尺足二尺即定次商為二尺 書於方積八尺之上而以初商之一十 尺與次商之二尺相乗得二十尺三因 之得六十尺為次商三長廉面積復以 次商二尺自乗得四尺為次商一小隅 面積合三方廉三長廉一小隅面積共 得三百六十四尺為廉隅共法書於餘 積之左以次商之二尺乗之得七百二 十八尺與餘積相減恰盡是開得一丈 二尺為正方體積每一邊之數也如圖 甲乙丙丁正方體形毎邊皆一丈二尺 其中函積一丈七百二十八尺是為共 積其先從一角所分戊乙庚己方體每 邊一丈即初商數其中函積亦一丈即 初商自乗再乗之數所餘辛形壬形癸 形三方體為三方廉其每邊一丈即初 商數其厚二尺即次商數而子形丑形 寅形三長方體為三長廉其每邊一丈 亦即初商數其闊其厚皆二尺亦即次 商數方廉有三故三倍初商之自乗為 廉法以定次商其卯形一小正方體為 隅其長與闊與厚皆同為二尺亦即次 商數故以次商為隅法合辛壬癸三方 廉子丑寅三長廉夘一方隅而成一磬 折體形附於初商自乗再乗之方體三 面而成一甲乙丙丁之總正方體積此 立方廉隅之法所由生也三商以後皆 倣此逓析開之 又法列積一丈七百二十八尺自末位 起算作記定位同前乃截一丈為初商 積與一丈自乗再乗之數相合則定初 商為一丈書於方積一丈之上而以一 丈自乗再乗之一丈書於初商積之下 相減恰盡乃以方邊末位餘積七百二 十八尺續書於下為次商廉隅之共積 而以初商之一丈作一十尺自乗得一 百尺三因之得三百尺為次商三方廉 面積即以三方廉面積三百尺除方積 七百二十八尺足二尺則定次商為二 尺書於方積八尺之上合初商共一丈 二尺自乗再乗得一丈七百二十八尺 與原積符合相減恰盡即定立方邊為 一丈二尺也此法止用三方廉面積除 立方體積得次商數即併初商數自乗 再乗得數與原積相減雖為省去長廉 小隅一層然方邊位數少者還為簡易 至於方邊位數過四位以上則累次自 乗再乗反比逓析之理為煩矣 設如正方體積一十四萬八千八百七十七尺開立 方問每一邊數幾何