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欽定四庫全書 御製數理精蘊下編卷二十一 面部十一 圜内容各等邊形 圜外切各等邊形 圜内容各等邊形 設如圜徑一尺二寸求内容三等邊形之每一邊及 面積幾何 法以圜徑一尺二寸為弦半徑六寸為 勾求得股一尺零三分九釐二豪三絲 有餘為圜内容三等邊形之每一邊爰 以三等邊形之每一邊為弦每一邊折 半為勾求得股九寸或以圜徑一尺二 寸取其四分之三亦得九寸為圜内容 三等邊形之中垂線乃以每一邊之一 尺零三分九釐二豪三絲有餘與中垂 線九寸相乘得九十三寸五十三分零 七釐有餘折半得四十六寸七十六分 五十三釐有餘即圜内容三等邊形之 面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容 甲丙丁三等邊形試自丁至乙作丁乙 線即圜内容六等邊形之每一邊與丁 戊半徑等甲乙全徑丁乙半徑與甲丁 邊遂成甲丁乙勾股形故以甲乙全徑 為弦丁乙半徑為勾求得甲丁股即圜 内容三等邊形之每一邊也其甲己中 垂線即甲丁弦己丁勾所求之股又為 圜徑四分之三既得一邊又得中垂線 即如三角形求面積法算之而得圜内 容三等邊形之面積也 又法以全圜三百六十度三分之每分 得一百二十度折半得六十度乃以半 徑十萬為一率六十度之正弦八萬六 千六百零三為二率今所設之半徑六 寸為三率求得四率五寸一分九釐六 豪一絲八忽倍之得一尺零三分九釐 二豪三絲六忽為圜内容三等邊形之 每一邊既得每一邊之數乃取圜徑四 分之三為中垂線與每一邊之數相乘 折半得四十六寸七十六分五十六釐 有餘即圜内容三等邊形之面積也如 圖甲乙圜徑一尺二寸内容甲丙丁三 等邊形每一邊之弧皆一百二十度試 將甲丙邊折半於戊自圜心己作己戊 庚半徑線遂平分甲丙弧於庚則甲庚 弧為六十度甲戊即六十度之正弦甲 丙即一百二十度之通弦是故半徑十 萬與六十度之正弦之比即如所設之 半徑六寸與甲戊之半邊之比既得半 邊倍之即全邊也 又用求圜内各形之一邊之定率比例 以定率之圜徑一○○○○○○○○ 為一率圜内容三等邊形之毎一邊八 六六○二五四○為二率今所設之圜 徑一尺二寸為三率求得四率一尺零 三分九釐二豪三絲有餘即圜内容三 等邊形之每一邊也 又用求圜内各形之面積之定率比例 以定率之圜徑自乘之正方面積一○ ○○○○○○○為一率圜内容三等 邊形之面積三二四七五九五三為二 率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一 尺四十四寸為三率求得四率四十六 寸七十六分五十三釐有餘即圜内容 三等邊形之面積也 又用圜面積之定率比例以定率之圜 面積一○○○○○○○○為一率圜 内容三等邊形之面積四一三四九六 六七為二率今所設之圜徑一尺二寸 求得圜面積一尺一十三寸零九分七 十三釐有餘為三率求得四率四十六 寸七十六分五十三釐有餘即圜内容 三等邊形之面積也 設如圜徑一尺二寸求内容四等邊形之每一邊及 面積幾何 法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸 自乘得三十六寸倍之得七十二寸開 方得八寸四分八釐五豪二絲八忽有 餘為圜内容四等邊形之每一邊其半 徑自乘倍之所得七十二寸即圜内容 四等邊形之面積也如圖甲乙圜徑一 尺二寸内容甲丙乙丁四等邊形試自 圜心戊至丁角作戊丁半徑線遂成甲 戊丁勾股形因甲戊戊丁皆同為半徑 一為勾一即為股故止以半徑自乘倍 之開方而得甲丁弦即圜内容四等邊 形之每一邊也每一邊自乘是仍為半 徑自乘倍之之數即圜内容四等邊形 之面積也 又法以全圜三百六十度四分之每分 得九十度折半得四十五度乃以半徑 十萬為一率四十五度之正弦七萬零 七百一十一為二率今所設之半徑六 寸為三率求得四率四寸二分四釐二 豪六絲六忽倍之得八寸四分八釐五 豪三絲二忽為圜内容四等邊形之毎 一邊既得每一邊之數即以毎一邊自 乘得七十二寸即圜内容四等邊形之 面積也如圖甲乙圜徑一尺二寸内容 甲丙乙丁四等邊形每一邊之弧皆九 十度試將甲丙邊折半於戊自圜心己 作己戊庚半徑線遂平分甲丙弧於庚 則甲庚弧為四十五度甲戊即四十五 度之正弦甲丙即九十度之通弦是故 半徑十萬與四十五度之正弦之比即 如所設之半徑六寸與甲戊之半邊之 比既得半邊倍之即全邊也 又用求圜内各形之一邊之定率比例 以定率之圜徑一○○○○○○○○ 為一率圜内容四等邊形之毎一邊七 ○七一○六七八為二率今所設之圜 徑一尺二寸為三率求得四率八寸四 分八釐五豪二絲八忽有餘即圜内容 四等邊形之每一邊也 又用求圜内各形之面積之定率比例 以定率之圜徑自乘之正方面積一○ ○○○○○○○為一率圜内容四等 邊形之面積五○○○○○○○為二 率今所設之圜徑一尺二寸自乘得一 尺四十四寸為三率求得四率七十二 寸即圜内容四等邊形之面積也 又用圜面積之定率比例以定率之圜 面積一○○○○○○○○為一率圜 内容四等邊形之面積六三六六一九 七七為二率今所設之圜徑一尺二寸 求得圜面積一尺一十三寸零九分七 十三釐有餘為三率求得四率七十二 寸即圜内容四等邊形之面積也 設如圜徑一尺二寸求内容五等邊形之每一邊及 面積幾何 法以圜徑一尺二寸折半得半徑六寸 為首率用連比例三率有首率求中率 末率使中率末率相加與首率等…