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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷十九 面部九 各面形縂論 直線形 各面形總論 面之爲形成於方圜直線所成皆方之類曲線所成 皆圜之類立法則方爲圜之本度圜者必以方而度 方者必以矩所謂方有盡而圜無盡是也論理則圜 又爲衆界形之本葢衆界形或函圜或函於圜其邊 皆當弧線之度故求衆界形者必以圜界爲宗也因 有方圜衆界之各異是以邊線等者面積不等如衆 界形之毎一邊與圜徑俱設爲一○○○○則方面 積爲一○○○○○○○○而圜面積爲七八五三 九八一六三等邊形之面積爲四三三○一二七○ 五等邊形之面積爲一七二○四七七四一六等邊 形之面積爲二五九八○七六二○七等邊形之面 積爲三六三三九一二四○八等邊形之面積爲四 八二八四二七一二九等邊形之面積爲六一八一 八二四二○十等邊形之面積爲七六九四二○八 八三此各形之面積皆以方積比例者也或以圜面 積設爲一○○○○○○○○則圜徑得一一二八 三小餘七九一六如圜徑與衆界形之毎一邊俱設 爲一一二八三小餘七九一六則圜面積爲一○○ ○○○○○○而三等邊形之面積爲五五一三二 八八九方面積爲一二七三二三九五四五等邊形 之面積爲二一九○五七九八六六等邊形之面積 爲三三○七九七三三四七等邊形之面積爲四六 二六八四○九八八等邊形之面積爲六一四七七 四四三五九等邊形之面積爲七八七○九四三○ 二十等邊形之面積爲九七九六五七○九九此各 形之面積皆以圜積比例者也葢因各形之邊線相 等面積不同故皆定爲面與面之比例也面積等者 邊線不等如衆界形之面積與圜面積俱設爲一○ ○○○○○○○○○○○○○○○則方邊爲一 ○○○○○○○○而圜徑爲一一二八三七九一 六三等邊形之毎邊爲一五一九六七一三七五等 邊形之毎邊爲七六二三八七○五六等邊形之毎 邊爲六二○四○三二四七等邊形之毎邊爲五二 四五八一二六八等邊形之毎邊爲四五五○八九 八五九等邊形之毎邊爲四○二一九九六三十等 邊形之毎邊爲三六○五一○五八此各形之邊線 皆以方邊比例者也或以圜徑設爲一○○○○○ ○○○則圜面積爲七八五三九八一六三三九七 四四八三如圜面積與衆界形之面積俱設爲七八 五三九八一六三三九七四四八三則圜徑爲一○ ○○○○○○○而二等邊形之毎邊爲一三四六 七七三六九四等邊形之毎邊爲八八六二二 六九二五等邊形之毎邊爲六七五六四七九三六 等邊形之毎邊爲五四九八一八○五七等邊形之 毎邊爲四六四八九八○三八等邊形之毎邊爲四 ○三三一二八八九等邊形之毎邊爲三五六四四 ○一四十等邊形之毎邊爲三一九四九四一八此 各形之邊線皆以圜徑比例者也葢因各形之面積 相等邊線不同故皆定爲線與線之比例也然自衆 界形之中心分之則又各成三角形皆以勾股爲準 則故勾股三角形雖爲面而不囿於面之中却别立 一章焉要之衆界形邊求積者歸之勾股積求邊者 歸之正方引而伸之觸類而長之凡爲面形者不能 違是也 直線形 設如正方形每邊五十尺問對角斜線幾何 法以方邊五十尺自乗得二千五百尺 倍之得五千尺開方得七十尺七寸一 分零六豪有餘即所求之對角斜線也 如圖甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙 丁丁甲每邊皆五十尺甲丙為所求對 角斜線甲乙為股則乙丙為勾乙丙為 股則甲乙為勾因甲乙與乙丙相等皆 可互為勾股故以一邊自乗倍之開方 得弦卽如各自乗相併開方而得弦也 又用定率比例法以定率之方邊一○ ○○○○○○爲一率對角斜線一四 一四二一三五為二率今所設之方邊 五十尺為三率求得四率七十尺七寸 一分零六豪有餘卽所求之對角斜線 也葢定率設方邊為一千萬其對角斜 線為一千四百一十四萬二千一百三 十五故定率之方邊一千萬與定率之 對角斜線一千四百一十四萬二千一 百三十五之比卽如今所設之方邊五 十尺與所求之對角斜線七十尺七寸 一分零六豪有餘之比也 若有對角斜線求方邊則以對角斜線 自乗折半開方所得為正方形之每一 邊也葢甲丙弦自乗之方與甲乙股乙 丙勾兩正方相併之積等今以甲丙弦 自乗折半則必與甲乙或乙丙自乗之 一正方相等故開方而得每一邊也或 用定率比例法以定率之對角斜線一 四一四二一三五為一率方邊一○○ ○○○○○為二率今所設之對角斜 線為三率求得四率卽方邊也 設如正方形每邊二尺今將其積倍之問得方邊幾 何 法以每邊二尺自乗得四尺倍之得八 尺開方得二尺八寸二分八釐四豪有 餘卽所求之方邊數也如圖甲乙丙丁 正方形每邊二尺其面積四尺倍之得 八尺卽如戊乙己庚正方形其每邊即 甲乙丙丁方形之對角斜線試於戊乙 己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以 乙為心戊為界作戊己弧與丁角相切 則丁乙與己乙皆為半徑其度相等葢 丁乙對角斜線自乗之方為甲乙邊自 乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽 為甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁 丙己庚磬折形積即與甲乙丙丁正方 形積相等也 設如正方形每邊二尺今將其積四倍之問得方邊 幾何 法以每邊二尺倍之得四尺卽所求之 方邊數也如圖甲乙丙丁正方形每邊 二尺其面積四尺四倍之得一十六尺 卽如戊乙己庚正方形之面積其每邊 得甲乙丙丁正方形每邊之…