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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷十七 面部 三角形邊線角度相求 三角形邊線角度相求 三角形有直角者為勾股無直角者作中垂線分為 两直角形則亦成两勾股是皆有其二而得其一或 有其三而分為二㮣以邊線相求者也至於割圜之 法則凡三角形有一角即有八線皆成勾股而可比 例以相求故三角形不論角之直與銳鈍要以角度 為凖而三角之度必與两直角之度等角之大者所 對之邊亦大角之小者所對之邊亦小凡三角三邊 但知其三而其餘者悉可得若直角則惟知其二而 其餘者亦可得此三角之法所由立而測量之用所 由廣也如知两角一邊求又一邊者以對所知之角 與對所求之角為比即如所知之邊與所求之邊為 比也知两邊一角求又一角者以對所知之邊與對 所求之邊為比即如所知之角與所求之角為比也 或所知之一角在所知两邊之間而求又一角者則 角無所對之邊而邊亦無所對之角必用两邊之和 較與所知角之外角半弧之切線為比而得所求两 角與所知角之外角半弧之較既得較而角度亦得 矣又如知三邊而求三角者則以三角形求中垂線 法分為两直角形而三角自隨之而得或用三邊之 方面按法比例而得两直角形之各一角既得一角 而三角亦可得矣若止有三角則三邊無所約束故 不成法葢角度為虚率而邊線為實數無實數而虚 率可馭總以比例四率展轉用之惟在分合有法相 度得宜耳 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙 角五十七度丙乙邊五丈求甲乙邊幾何 法以丙角五十七度與象限九十度相 減餘三十三度為甲角乃以甲角為對 所知之角其正弦五萬四千四百六十 四為一率丙角為對所求之角其正弦 八萬三千八百六十七為二率丙乙邊 為所知之邊其數五丈為三率求得四 率七丈六尺九寸九分三釐有餘即甲 乙為所求之邊也如丙丁戊一象限己 戊弧為丙角之正弧己庚線為丙角之 正弦丁己弧為丙角之餘弧即甲角之 正弧辛己線為丙角之餘弦即甲角之 正弦是故丙角五十七度之餘弧為三 十三度丙角五十七度之餘弦為三十 三度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股 形為同式形故甲角正弦丙庚與 丙角正弦己庚之比同於丙乙邊與甲 乙邊之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角五十七 度之正切一十五萬三千九百八十六 為二率丙乙邊五丈為三率求得四率 七丈六尺九寸九分三釐即甲乙邊也 如丙丁戊一象限切己戊弧作庚戊線 為丙角之正切則丙戊為半徑庚戊丙 與甲乙丙兩勾股形為同式形故丙戊 半徑與庚戊正切之比同於丙乙邊與 甲乙邊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙 角二十三度三十五分甲乙邊三十二丈求丙乙 邊幾何 法以丙角二十三度三十五分與九十 度相減餘六十六度二十五分為甲角 乃以丙角為對所知之角其正弦四萬 零八為一率以甲角為對所求之角其 正弦九萬一千六百四十八為二率甲 乙邊為所知之邊其數三十二丈為三 率求得四率七十三丈三尺零三分有 餘即丙乙為所求之邊也如丙丁戊一 象限己戊弧為丙角之正弧己庚線為 丙角之正弦丁己弧為丙角之餘弧即 甲角之正弧辛己線為丙角之餘弦即 甲角之正弦故丙角二十三度三十五 分之餘弧為六十六度二十五分丙角 二十三度三十五分之餘弦為六十六 度二十五分之正弦己庚丙與甲乙丙 兩勾股形為同式形故丙角正弦己庚 與甲角正弦丙庚之比同於甲乙邊與 丙乙邊之比為相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角二十三 度三十五分之餘切線二十二萬九千 零七十三為二率甲乙邊三十二丈為 三率求得四率七十三丈三尺零三分 有餘即丙乙邊也如丙丁戊一象限切 丁己弧作丁庚線為丙角之餘切即甲 角之正切則丁丙為半徑丙丁庚與甲 乙丙兩勾股形為同式形故丁丙半徑 與丁庚餘切之比同於甲乙邊與丙乙 邊之比為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙 角四十三度三十七分丙乙邊二十一尺求甲丙 邊幾何 法以丙角四十三度三十七分與九十 度相減餘四十六度二十三分為甲角 乃以甲角為對所知之角其正弦七萬 二千三百九十七為一率 以乙角為對所求之角其正 弦即半徑十萬為二率丙乙邊為所知 之邊其數二十一尺為三率求得四率 二十九尺零六釐有餘即甲丙為所求 之邊也如丙丁戊一象限己戊弧為丙 角之正弧丁己弧為丙角之餘弧即甲 角之正弧辛己線為丙角之餘弦即甲 角之正弦己丙線為半徑即九十 度之正弦己庚丙與甲乙丙兩勾股形 為同式形故甲角正弦丙庚與半徑己 丙之比同於丙乙邊與甲丙邊之比為 相當比例四率也 又法以半徑十萬為一率丙角四十三 度三十七分之正割一十三萬八千一 百二十七為二率丙乙邊二十一尺為 三率求得四率二十九尺零六釐有餘 即甲丙邊也如丙丁戊一象限切己戊 弧作庚戊線為丙角之正切則丙戊為 半徑庚丙為正割庚戊丙與甲乙丙兩 勾股形為同式形故丙戊半徑與庚丙 正割之比同於丙乙邊與甲丙邊之比 為相當比例四率也 設如甲乙丙直角三角形乙角為直角九十度知丙 角五十一度五十一分甲丙邊八十九丈零二寸 二分求甲乙邊丙乙邊各幾何 法以丙角五十一度五十一分與九十 度相減餘三十八度零九分為甲角求 甲乙邊則以乙角為對所知之角其正…