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欽定四庫全書 御製數理精蘊下編卷十六 面部 割圜 割圜八線 圜周定為三百六十度大而周天小而寸許皆如之 葢圜有大小而度分随之其為數則同自圜心平 分圜周為四分名曰四象限每一象限九十度一 象限之中設為正弦餘弦正矢餘矢正切餘切正 割餘割名之曰割圜八線 設如甲乙丙丁之圜自圜心戊平分全 圜為甲乙乙丙丙丁丁甲四象限其每 一象限皆九十度乃自圜心戊任作一 戊己半徑則將甲丁九十度之弧分為 甲己己丁二段己丁為己戊丁角所對 之弧甲己為甲戊己角所對之弧如命 己戊丁為正角則甲戊己為餘角甲戊 己為正角則己戊丁為餘角正角所對 為正弧餘角所對為餘弧今以己丁為 正弧故甲己為餘弧又自己與甲丙全 徑平行作己辛線謂之通弦其對己丁 正弧而立於戊丁半徑者曰正弦又與 戊丁半徑平行作壬己線謂之餘弦以 其為甲己餘弧之所對也於戊丁半徑 内減戊庚餘庚丁謂之正矢於甲戊半 徑内減壬戊餘甲壬謂之餘矢自圜界 與甲戊半徑平行立於戊丁半徑之末 作垂線仍與己戊丁角相對者曰正切 將己戊半徑引長與正切相遇於癸成 戊癸線謂之正割又自圜界與戊丁半 徑平行作甲子線謂之餘切戊癸正割 被甲子餘切截於子所分戊子謂之餘 割每一角一弧即有正弦餘弦正矢餘 矢己成四線於圜界之内復引出半徑 於圜界之外而成正切餘切正割餘割 之四線内外共為八線故曰割圜八線 逐度逐分正弧之餘即為餘弧之正餘 弧之正即為正弧之餘是以前四十五 度之八線正餘互相對待為用不必復 求後四十五度之八線也凡此八線皆 九十度以内鋭角之所成若直角九十 度者則不能成八線葢因半徑即九十 度之正弦甲戊半徑即甲丁弧之弦而 切線割線為平行終無相遇之處也若 鈍角過九十度以外者則於半周一百 八十度内減其角度用其餘度之八線 即如己庚為己丁弧之正弦亦即乙己 弧之正弦也要之八線以正弦為本有 正弦則諸線皆由此生故六宗三要皆 係正弦之法 六宗三要 西洋厯算家作割圜八線表始自圜内容六邊四邊 十邊三邊五邊十五邊名曰六宗葢用圜徑求各等 邊形之一邊為相當弧之通弦以為立表之原故謂 之宗然六者實本於三如六邊形之一邊即圜之半 徑不藉他求數無零餘而理最易見此其一也四邊 形之一邊則為半徑所作正方形之對角斜弦此又 其一也十邊形之一邊則為半徑所作連比例三率 之中率西法謂之理分中末線此又其一也至於三 邊形則出於六邊五邊形則出於十邊十五邊形則 又出於三邊及五邊非别自立一法也既得此六種 形之一邊各半之即得六種弧之各正弦爰命此六 種弧為本弧按法可求本弧之餘弦可求倍本弧之 正弦餘弦亦可求半本弧之正弦餘弦是為三要又 以不等两弧之正弦餘弦求相加相減弧之正弦又 两弧距六十度前後之度等得其两正弦之較即得 距弧之正弦是又名為二簡法由此錯綜之可得正 弦一百二十其中最小者為四十五分之弦其次一 度三十分又次為二度十五分又次為三度如此每 越四十五分而得一弦其自一分至四十四分之弦 則以比例求之因弧分甚微與直線所差無幾故以 弦求弦而得之此西法立割圜八線表之大綱也爾 來西法對數表内有設連比例四率以求圜内容七 邊九邊二法因推廣其理於六宗之外增求圜内容 十八邊形十四邊形之法俱以半徑為首率求連比 例四率之第二率即十八邊形十四邊形之每一邊 而七邉又因之以生亦猶三邊之出於六邊五 邊之出於十邊也有此二形與六宗相叅伍可得正 弦三百六十其中最小者為十五分之正弦又增一 法求十五分之三分之一五分之正弦所少者止一 分至四分之正弦較之四十五分為尤密可知矣今 以六宗三要二簡法理分中末線并新增數法皆按 類具例於左 六宗 設如圜徑二十萬求内容六邊形之一邊幾何 法以圜徑二十萬折半得半徑十萬即 圜内容六邊形之每一邊也如甲圜内 容六邊形每邊之弧得圜周六分之一 皆六十度試自圜心甲至圜界乙丙二 處作甲乙甲丙二半徑線成甲乙丙三 角形則甲角所對之弧為六十度而甲 乙甲丙两腰俱為半徑既相等則乙角 丙角亦必相等而各為六十度矣三角 既等則三邊亦必相等故乙丙邊即與 甲乙甲丙半徑相等也乙丙弧既為六 十度則乙丙邊十萬為六十度之通弦 折半得乙丁五萬即乙戊弧三十度之 正弦也此即六邊起算之理前設圜徑 為二兆者所以求其密合今設圜徑為 二十萬所以取其便於用也 設如圜徑二十萬求内容三邊形之一邊幾何 法以圜徑二十萬為弦自乗得四百億 又以半徑十萬為勾自乗得一百億相 減餘三百億開方得股一十七萬三千 二百零五即圜内容三邊 形之每一邊也如甲圜内容三邊形毎 邊之弧得圜周三分之一皆一百二十 度為六邊形每邊弧之一倍試自乙角 過圜心至對界作乙丁全徑線又自丁 依半徑度至丙作丁丙線則成六邊形 之每一邊其丙丁弧即為三邊形之每 邊弧之一半而丙角立於圜界之一半 必為直角故半徑為勾全徑為弦求得 股即三邊形之每一邊也乙丙弧既為 一百二十度則乙丙邊一十七萬三千 二百零五為一百二十度 之通弦折半得乙戊八萬六千六百零 二即乙己弧六十度之正 弦也 設如圜徑二十萬求内容四邊形之一邊幾何 法以圜徑二十萬折半得半徑十萬自 乗得一百億倍之得二百億開方得一 …