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欽定四庫全書 御製數理精蘊下編卷十五 面部五 割圜 割圜 周髀曰圓出於方方出於矩矩者所謂直角即勾股 也葢因方易度而圓難測方有盡而圓無盡故古人 用割圜之法内弦外切屢求勾股為無數多邊形以 切近圜界使弧線直線漸合為一而圓周始得是則 推圜者以方推方者以矩矣劉宋祖冲之以圜容六 邊起算元趙友欽以圜容四邊起算自明末西法入 中國又有割圜八線六宗三要等説而圜度内外諸 線相求之法始偹要之圜内六邊起算者圜徑折半 即圜内六邊之一乃用屢求勾股之法自六邊而十 二邊自十二邊而二十四邊自二十四邊而四十八 邊如是累至億萬邊設徑為一而周得三一四一五 九二六五三有餘圜内四邊起算者則以圜徑為内 容正方之斜弦自乗折半開方而得四邊之一亦用 屢求勾股之法自四邊而八邊自八邊而十六邊自 十六邊而三十二邊如是累至億萬邊設徑為一而 周亦得三一四一五九二六五三有餘圜外四邊起 算者圜徑即四邊之一圜徑自乗倍之開方即圜外 正方之斜弦減去圜徑即圜外兩角之餘又即圜外 八邊之一以八邊之一折半為勾半徑為股求得弦 與半徑相減即股弦較又即小同式形之勾乃以八 邊之一折半之勾為一率半徑之股為二率小同式 形之勾為三率推得四率為小同式形之股倍之即 十六邊之一如是累至億萬邊設徑為一而周亦得 三一四一五九二六五三有餘圜外六邊起算者圜 徑為弦半徑為勾求得股倍之即圜外三邊之一取 其三分之一即圜外六邊之一以六邊之一折半為 勾半徑為股求得弦與半徑相減即股弦較又即小 同式形之勾乃以六邊之一折半之勾為一率半徑 之股為二率小同式形之勾為三率推得四率為小 同式形之股倍之即十二邊之一如是累至億萬邊 設徑為一而周亦得三一四一五九二六五三有餘 此兩法者或自圜内容形之邊為勾股法使無數勾 股小弦逼近圜周将與圜周合而為一或自圜外切 形之邊為勾股法使無數勾股小股逼近圜周亦将 與圜周合而為一二法既立故凡圜周圜徑諸法皆 可以互相比例矣割圜八線則將圜周分為三百六 十度先求弧度通弦折半為正弦既得正弦而圜内 之正矢圜外之正切正割由之而生至於餘弦餘矢 餘切餘割則又由正而得名三百六十度平分四象 限每一象限九十度九十度之中得其正角為正餘 角為餘是以正餘相對而割圜八線之表以立一象 限中成勾股形者五千四百故凡勾股三角測量諸 法皆可以互相比例矣自圜内容形屢求勾股而得 無數多邊自圜外切形屢求勾股而得無數多邊内 外湊集則圜周漸變為直線而設圜界為度分者内 而正弦外而切線至於無數則圜周亦漸變為直線 二者互相恭考俱為相符可見理之至者先後一揆 法之精者中外一理然則勾股即割圜之體而割圜 即勾股之用二者交相成而兩相得乎 圜内容六邊起算 設如圜徑二兆用内容六邊起算問得圜周幾何 法以圜徑二兆折半得一兆為圜内所 容六邊形之每一邊乃以半徑一兆為 弦六邊之一邊一兆折半得五千億為 勾求得股八千六百六十億二千五百 四十萬三千七百八十四 與半徑相減 餘一千三百三十九億七千四百五十 九萬六千二百一十五 復為勾六邊之 一邊折半之五千億為股求得弦五千 一百七十六億三千八百零九萬零二 百零五 為圜内所容十二邊形之每一 邊如是屢求得圜内二十四邊形之每 一邊為二千六百一十億五千二百三 十八萬四千四百四十零 圜内四十八 邊形之每一邊為一千三百零八億零 六百二十五萬八千四百六十零 圜内 九十六邊形之每一邊為六百五十四 億三千八百一十六萬五千六百四十 三 圜内一百九十二邊形之每一邊為 三百二十七億二千三百四十六萬三 千二百五十二 圜内三百八十四邊形 之每一邊為一百六十三億六千二百 二十七萬九千二百零七 圜内七百六 十八邉形之每一邊為八十一億八千 一百二十萬八千零五十二 圜内一千 五百三十六邊形之每一邊為四十億 九千零六十一萬二千五百八十二 圜 内三千零七十二邊形之每一邊為二 十億四千五百三十萬七千三百六十 零 圜内六千一百四十四邊形之每一 邊為一十億二千二百六十五萬三千 八百一十四 圜内一萬二千二百八十 八邊形之毎一邊為五億一千一百三 十二萬六千九百二十三 圜内二萬四 千五百七十六邊形之每一邊為二億 五千五百六十六萬三千四百六十三