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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷十四 面部四 三角形 三角形 凡三角形立於圓界之一半者為直角即勾股過圓 界之一半者為鋭角不及圓界之一半者為鈍角然 不拘鋭角鈍角自一角至底邊作垂線即分為兩直 角是仍不離乎勾股也兩腰等者垂線即當底之一 半而兩腰不等者所分底界則有大小不同故和較 相比之法因之而生葢和求較較求和要必歸於勾 股相求之理由勾股而得垂線則凡面積及内容方 圓等形皆無不可得至於三角形角度相求之法乃 割圓八線實所以極三角之用即如周髀所謂仰矩 知髙俯矩知深是也故另為一卷茲但取三角形之 面線相求諸法悉具圖觧以次勾股使與勾股相表 裏焉 設如有等邊三角形每邉十尺求中垂線幾何 法以底邉十尺折半得五尺為勾任以 兩腰之一邉十尺為弦勾弦求股得八 尺六寸六分零二毫有餘即為中垂線 也如圖甲乙丙三角形其甲乙甲丙兩 腰相等則其底邊之乙丙兩角度亦必 相等今所求之垂線為甲 丁即将甲乙丙三角形平分為兩直角 三角形而甲丁乙甲丁丙皆為直角其 度又等故所分之兩直角三角形為同 式形而甲丁垂線又為兩三角形所共 用之邉線則所分之底邊之乙丁丁丙 焉得不等故将乙丙底邊折半為勾任 以甲乙甲丙兩邉之一邊為弦求得股 為中垂線也 又法以底邊十尺折半得五尺自乗得 二十五尺三因之得七十五尺開方得 八尺六寸六分零二毫有餘即為中垂 線也葢弦比勾大一倍則弦之自乗之 方必比勾之自乗之方大四倍為連比 例隔一位相加之比例依 勾弦求股之法於弦自乗方積之四倍 内減勾自乗方積之一倍餘三倍即為 股自乗之方積是中垂線之自乗方積 為勾自乗方積之三倍故将底邊折半 自乗三因之即與中垂線自乗之方積 等而開方得中垂線也 設如有鋭角三角形大腰一百二十二尺小腰一百 一十二尺底一百五十尺求中垂線幾何 法以底一百五十尺為一率大腰一百 二十二尺與小腰一百一十二尺相加 得二百三十四尺為二率以大腰一百 二十二尺與小腰一百一十二尺相減 餘十尺為三率求得四率十五尺六寸 為底邊之較與底一百五十尺相減餘 一百三十四尺四寸折半得六十七尺 二寸為勾以小腰一百一十二尺為弦 求得股八十九尺六寸為中垂線也如 圖甲乙丙三角形甲乙為大腰甲丙為 小腰乙丙為底甲丁為所求中垂線試 以甲為心丙為界作一圜截甲乙大腰 於庚截乙丙底於戊又将甲乙大腰引 長至己作甲己線與甲丙小腰相等則 己乙為兩腰之和庚乙為兩腰之較 乙丙為底邊之和乙 戊為底邉之較今 以乙丙底邉之和與乙己兩腰之和為 比即同於乙庚兩腰之較與乙戊底邊 之較為比為轉比例之四率