加载中…
欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷十一 面部一 平方 帶縱平方 平方 平方者等邊四直角之面積也以形而言則為兩矩 所合以積而言則為自乗之數因其有廣無厚故曰 平方因其縱横相等故曰正方葢方積面也而其邊 則線也有線求面則相乗而得積有面求線則開方 而得邊開之之法略與歸除同但歸除有法有實而 開方則有實而無法故古人立為商除廉隅之制以 相求每積二位得邊之一位所謂一百一十定無疑 一千三十有零餘九千九百不離十一萬方為一百 推是也其法先從一角而剖其冪以自一至九自乗 之數為方根與所有之積相審量其足減者而定之 是為初商初商減盡無餘則方邊止一位若有餘實 即初商方積外别成一磬折形其附初商之兩旁者 謂之廉兩廉之角所合一小方謂之隅廉有二故倍 初商為兩廉之共長是為廉法視餘積足廉法幾倍 即是次商隅即次商之自乗故次商為隅法合廉隅 而以次商乗之則得兩廉一隅之共積所謂初商方 積外别成一磬折形者是也故次商為初商所得方 邊之零如次商數與初商餘積相減尚有不盡之實 則又成一磬折形而仍為兩廉一隅但較前廉愈長 而隅愈小耳凡有幾層廉隅俱照初商之例逐層遞 析之實盡而止實不盡者必非自乗之正數遞析之 至於纎塵終有奇零若餘實不足廉隅法之數者則 方邊為空位此開方之定法也面形不一而容積皆 以方積為準故平方為算諸面之本諸面必通之方 積而後可施其法也 設如正方面積三十六尺開方問每一邊數幾何 法列方積三十六尺自末位起算每方 積二位定方邊一位今積止有二位則 於六尺上作記定單位以自一至九自 乗之方根數與之相審知與六尺自乗 之數恰合乃以六尺書於方積六尺之 上而以六尺自乗之三十六尺書於方 積原數之下相減恰盡即得開方之數 為六尺也如圖甲乙丙丁正方形每邊 皆六尺其中函一尺小正方三十六自 邊計之為六尺自乗之積以積開之則 與六尺自乗方根之數相準故商除之 恰盡也葢方積為二位是以方邊止一 位方積即六尺自乗之數故無廉隅之 可用次商如有餘積則自成廉隅而用 次商矣 設如正方面積一丈四十四尺開方問每一邊數幾 何 法列方積一丈四十四尺自末位起算 每方積二位定方邊一位故隔一位作 記即於四尺上定尺位一丈上定丈位 其一丈為初商積與一丈自乗之數相 合即定初商為一丈書於方積一丈之 上而以一丈自乗之正方一丈書於初 商積之下相減恰盡爰以方邊末位積 四十四尺續書於下 為次商廉隅之共積乃 以初商之一丈作一十尺倍之得二十 尺為廉法以除四十四尺足二尺即定 次商為二尺書於方積四尺之上而以 次商二尺為隅法與廉法二十尺相加 共得二十二尺為廉隅共法書於餘積 之左以次商二尺乗之得四十四尺與 次商廉隅共積相減恰盡是開得一丈 二尺為方面每一邊之數也如圖甲乙 丙丁正方形每邊皆一丈二尺其中函 積一丈四十四尺是為共積其從一角 所分甲庚己戊正方形每邊一丈即初 商數其中函正方積一丈即初商自乗 數所餘庚己壬乙戊己辛丁兩長方為 兩廉其各長十尺即初商數其各闊二 尺即次商數廉有二故倍初商為廉法 其己壬丙辛一小正方為隅其邊二尺 亦即次商數故以次商為隅法合兩廉 一隅成一磬折形附於初商自乗方之 兩邊而成一總正方形此廉隅之法所 由生也 設如正方面積五百二十九尺開方問毎一邊數幾 何