加载中…
欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷十 線部八 方程 方程 方者比也程者式也因設數齊其分以比方之定為 已成之式凡法皆如之故曰方程葢用互乗者所以 齊其分使其首數皆同減盡而餘一法一實以得一 數也法雖有三色四色以至多色不過累乗累減亦 歸於一法一實而已其二色者設二行三色者設三 行有幾色者必設幾行若三色設二行四色設三行 即不可算若二色設三行三色設四行則其一行又 可以不用是故解方程者又謂凡設數必成方而後 可算也然其要總在於分和較和數相比者則互乗 而相減較數相比者古人定為正負之名以辨加減 異同之號正負異號則相加正負同號則相減其理 與盈朒同葢正者為主之數負者虚比之數其始也 任以首色為正互乗衆色與首色同類者皆正也與 首色異類者皆負也其繼也以互乗所得之數視正 負之同異而加減之然加減之餘又有正變為負負 變為正者總之因彼此而分正負由多少而成虚實 互乗之後任以一層為主凡異號相加者悉依本層 其號皆不變也若同號相減者本層多其號亦不變 本層少反減者則正變為負負變為正葢此多則彼 少彼少則此多也至於首色減盡則第二色即為首 色故加減之後首色為負者悉變之以便互乗加減 始不淆也今定為例和數者不用正負之號較數者 則用正負之號和較兼用者和仍不用正負之號而 較則用之和較交變者則隨其法而辨别之以定其 號焉或有非方程之本法而可以方程算者則又别 為設問以附其後古人所謂以御錯糅正負者庶乎 盡於此矣 和數類 設如馬四匹牛六頭共價四十八兩馬三匹牛五頭 共價三十八兩問馬牛各價幾何 法以馬四匹牛六頭共價四十八兩列 於上馬三匹牛五頭共價三十八兩列 於下乃以上馬四匹遍乗下馬三匹牛 五頭價銀三十八兩得馬十二匹牛二 十頭價銀一百五十二兩又以下馬三 匹遍乘上馬四匹牛六頭價銀四十八 兩得馬十二匹牛十八頭價銀一百四 十四兩兩下相較則馬各十二匹彼此 減盡牛二十頭内減十八頭餘二頭價 銀一百五十二兩内減一百四十四兩 餘八兩爰以餘牛二頭除餘銀八兩得 四兩卽牛每頭之價以牛五頭乘之得 二十兩為牛五頭之共價於馬牛共價 三十八兩内減去二十兩餘十八兩為 馬三匹之共價以馬三匹除之得六兩 卽馬每匹之價也此法葢以首色二數 遍乘各數使其分數齊等卽互乘齊分 之理故馬四匹遍乘馬三匹牛五頭價 銀三十八兩則為各増四倍馬三匹遍 乘馬四匹牛六頭價銀四十八兩則為 各増三倍兩下各色既俱各増倍分則 其比例皆同是故馬兩下相平而減盡 無餘牛兩下相減餘二頭價銀兩下相 減餘八兩是為相當之數葢一百五十 二兩内減去一百四十四兩卽減去馬 十二匹牛十八頭之共價而所餘之八 兩為牛二頭之價也 又如以牛數列於前馬數列於後則先 得馬價法以牛六頭馬四匹共價四十 八兩列於上牛五頭馬三匹共價三十 八兩列於下乃以下牛五頭遍乘上牛 六頭馬四匹價銀四十八兩得牛三十 頭馬二十匹價銀二百四十兩又以上 牛六頭遍乘下牛五頭馬三匹價銀三 十八兩得牛三十頭馬十八匹價銀二 百二十八兩兩下相較則牛各三十頭 彼此減盡馬二十匹内減十八匹餘二 匹價銀二百四十兩内減二百二十八 兩餘十二兩爰以餘馬二匹除餘銀十 二兩得六兩卽馬每匹之價以馬三匹 乘之得十八兩為馬三匹之共價於牛 馬共價三十八兩内減去十八兩餘二 十兩為牛五頭之共價以牛五頭除之 得四兩卽牛每頭之價也此法用互乘 後則牛兩下相平而減盡無餘馬兩下 相減餘二匹價銀兩下相減餘十二兩 卽為相當之數葢二百四十兩内減去 二百二十八兩卽減去牛三十頭馬十 八匹之共價而所餘之十二兩為馬二 匹之價也大凡方程之法各色俱可以 更互相求者皆如此類也 設如緞二疋紗六疋紬八疋共價八十四兩緞一疋 紗四疋紬七疋共價六十兩緞三疋紗五疋紬九 疋共價九十兩問緞紗紬各價幾何 法先以緞二疋紗六疋紬八疋共價八 十四兩列於上緞一疋紗四疋紬七疋 共價六十兩列於下乃以上緞二疋遍 乘下緞一疋紗四疋紬七疋價銀六十 兩得緞二疋紗八疋紬十四疋價銀一 百二十兩又以下緞一疋遍乘上緞二 疋紗六疋紬八疋價銀八十四兩仍得 原數兩下相較則緞各二疋彼此減盡 紗八疋内減六疋餘二疋紬十四疋内 減八疋餘六疋價銀一百二十兩内減 八十四兩餘三十六兩卽為紗二疋紬 六疋價銀三十六兩也
次以緞一疋紗四疋紬七疋價 銀六十兩列於上緞三疋紗五疋紬九 疋價銀九十兩列於下乃以下緞三疋 遍乘上緞一疋紗四疋紬七疋價銀六 十兩得緞三疋紗十二疋紬二十一疋 價銀一百八十兩又以上緞一疋遍乘 下緞三疋紗五疋紬九疋價銀九十兩 仍得原數兩下相較則緞各三疋彼此 減盡紗十二疋内減五疋餘七疋紬二 十一疋内減九疋餘十二疋價銀一百 八十兩内減九十兩餘九十兩即為紗 七疋紬十二疋價銀九十兩也