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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷八 線部六 盈朒 盈朒 盈有餘也朒不足也設有餘不足以求適中亦為因 較而得正數之法此固比例法也但比例以實數求 實數而盈朒則以虚數求實數然虚數皆與實數相 較而生盈朒之差則虚數亦實數也比例以所有之 三率求所餘之一率而盈朒則所有為两數且两數 之中各藏一數其實亦三率也其間有一盈一朒者 則以两數相加為相較之率有两盈或两朒者則以 兩數相減為相較之率有一盈一適足或一朒一適 足者則無可加減而或盈或朒之數即其較也法不 一致惟在相較以得其差理本一原惟在互比以得 其實錯綜變幻其用不窮所謂以實御虚和較互見 者庶㡬盡於此矣 一盈一朒 設如有人分銀不知人數亦不知銀數只云每人七 两分之則餘四两每人九两分之則少十二两問 人數及銀數各若干 法以七两與九两相減餘二两為一率 一人為二率盈四两與朒十二两相加 共十六两為三率推得四率八即為人 數以八人與每人七两相乗得五十六 两加盈四两得六十两即為銀數或以 八人與每人九两相乗得七十二两減 朒十二两餘六十两亦為銀數也此法 盖因前設分七两後設分九两是每一 人多分二两也然每人分七两則縂銀 盈四两每人分九两則縂銀朒十二两 是盈朒相差共十六两矣夫一人多分 二两而縂銀差十六两則二两為一人 之所多而十六两為八人之所多可知 矣故二两與一人之比同於十六两與 八人之比而為比例四率也既得人數 以每人七两計之則八人應得五十六 两因銀尚餘四两故加四两得六十两 為銀數也若以每人九两計之則八人 應得七十二两因銀少十二两故減十 二两餘六十两為銀數也此先得人數 之法也 又先得銀數之法用互乗以齊其分以 九两乗盈四两為加九倍得盈三十六 两以七两乗朒十二两為加七倍得朒 八十四两相加得一百二十两為二率 七倍與九倍相減餘二倍為一率一倍 為三率推得四率六十两即為銀數既 得銀數則於六十两内減盈四两餘五 十六两以每人七两除之得八為人數 或於六十两加朒十二两共七十二两 以每人九两除之亦得八為人數也此 法以九两互乗盈四两者将盈四两加 九倍也盈四两加九倍則為盈三十六 两既以盈數加九倍則縂銀數與所分 七两亦皆當加九倍七两加九倍則為 六十三两是則九倍之縂銀每人六十 三两分之盈三十六两也以七两互乗 朒十二两者将朒十二两加七倍也朒 十二两加七倍則為朒八十四两既以 朒數加七倍則縂銀數與所分九两亦 皆當加七倍九两加七倍則亦為六十 三两是則七倍之縂銀每人六十三两 分之朒八十四两也夫每人既皆分六 十三两則是所分之加倍共銀數亦必 相同然九倍銀數則盈七倍銀數則朒 因九倍比七倍多二倍是盈朒相加之 一百二十两即此二倍之銀數也知二 倍為一百二十两即知一倍之為㡬何 矣故以二為一率一百二十两為二率 一為三率推得四率六十两為銀數也 既得銀數則於六十两内減盈四两餘 五十六两即為分七两者之共數而以 七两除之得八人或於六十两加朒十 二两得七十二两即為分九两者之共 數而以九两除之亦得八人也此先得 銀數之法也 又法将盈四两與朒十二两相加得十 六两為一率七两與九两相減餘二两 為二率盈四两為三率得四率五錢與 所分七两相加得七两五錢為每人應 得之數又以五錢除盈四两得八為人 數或仍以十六两為一率二两為二率 以朒十二两為三率得四率一两五錢 與所分九两相減亦得七两五錢為每 人應得之數又以一两五錢除朒十二 两亦得八為人數以八人與每人七两 五錢相乗得六十两為銀數也此法盖 因九兩與七两相較差二两盈四两與 朒十二两相併為十六两是縂銀盈朒 共差十六两由於每人之多二两也今 銀尚盈四两則每人分七两者其每一 分應多五錢而為七两五錢矣故十六 两與二两之比同於四两與五錢之比 而為比例四率也且一人多五錢而共 多四兩則其為八人可知矣故五錢與 一人之比同於四两與八人之比亦為 比例四率也若以朒數論之則縂銀共 差十六两者由於每人少二两今銀朒 十二两則每人分九两者其每一分應 少一两五錢而為七两五錢矣且一人 少一两五錢而共少十二两則其為八 人又可知矣既得人數則以八人與每 人七两五錢相乗得六十两而為縂銀 數也此先得每一人所得銀數之法也 要之第一法先求人數第二法先求物 價第三法先求適足之數立法雖各不 同而各先得其一一得而無不得者實 由於理之一貫者也 設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價只云 每人出銀四兩則不足四兩每人出銀六兩則多 六兩問人數及物價各若干 法以出四兩與出六兩相減餘二兩為 一率一人為二率朒四兩與盈六兩相 加共十兩為三率推得四率五即為人 數以五人與每人四兩相乗得二十两 加朒四兩共得二十四兩即為物價或 以五人與每人六兩相乗得三十兩減 盈六两亦得二十四兩為物價也此法 盖因前設出四兩後設出六兩是每一 人多出二兩也然出四兩則朒四兩出 六兩則盈六兩是盈朒相差共多十兩 矣夫一人多出二兩而縂價即多十两 則二两為一人之所多而十兩為㡬人 之所多可知矣故以比例四率求之而 得五人也既得人數以每人出四兩計 之則五人應出二十两因於物價朒四 兩故加四兩得…