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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷五 線部三 按數加减比例 按數加減比例 差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為 相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所 減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃 加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分 蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞 加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數 與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定 為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位 加減即遞加遞减之一類也首尾互凖又為互和折 半之變體也 遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自 多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次 名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡 單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四 色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙 位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中 數按定數加減則各色之數可得矣 超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分 銀若干一得三分一得五分一得八分而彼此分數 之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出 二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例 不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減 無異故次於遞次加減之後 互和折半者亦如遞次加減之理但用法㣲異遞次 加減知總物數知總人數併知遞加遞減之數以求 各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人 比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是 以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色 者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中 數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五 色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例 俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也 首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總 物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此 較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知 總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分 數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以 互和折半之法逆推之而即得故次於互和折半之 後焉 遞加遞減差分 設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分 之問各得幾何 法以三人為一率金六十兩為二率一 人為三率推得四率二十兩即乙應得 之數自乙數加五兩得二十五兩即丙 應得之數自乙數減五兩得十五兩即 甲應得之數也此法因甲丙二人所得 較之乙所得加減之數皆同故以總三 人與總六十兩之比即若中一人與中 一分二十兩之比也 設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五 斤問每球重數若干 法以四球為一率鉛三百五十斤為二 率一球為三率推得四率八十七斤半 即第二球第三球相和折半之數乃以 遞加二十五斤折半得十二斤半與八 十七斤半相加得一百斤即第三球之 重與八十七斤半相減餘七十五斤即 第二球之重於第三球重數内再加二 十五斤得一百二十五斤即第四球之 重於第二球重數内再減二十五斤餘 五十斤即第一球之重也此法比例所 得八十七斤半較之第二球多十二斤 半較之第三球則少十二斤半故為二 球相和折半之數以遞加二十五斤之 數折半加減之即得中二球之重再以 二十五斤加減之即得第一與第四球 之重也 設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以 上遞加五斤問各該幾何 法以五人為一率金七十五斤為二率 一人爲三率推得四率十五斤即伯所 得之數自伯十五斤而上加五斤得二 十斤即侯所得之數再加五斤得二十 五斤即公所得之數自伯十五斤而下 減五斤餘十斤即子所得之數再減五 斤餘五斤即男所得之數也 設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十 三石給之問各得若干 法以五分為一率糧三百零 五石為二率一分為三率推得四率六 十一石即三等官俸自六十一石遞加 十三石得二等七十四石一等八十七 石自六十一石遞減十三石得四等四 十八石五等三十五石也 設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依 次遞加十七錠問首末兩人各該幾何 法以八人為一率銀九百九十六錠為 二率一人為三率推得四率一百二十 四錠半為第四人第五人相和折半之 數乃以遞加十七錠折半得八錠半與 一百二十四錠半相加得一百三十三 錠即第四人應得之數再以十七錠遞 加三次得一百八十四錠即第一人應 得之數以八錠半與一百二十四錠半 相減餘一百一十六錠即第五人應得 之數再以十七錠遞減三次餘六十五 錠即第八人應得之數也 設如一人有九子不明説出各人歲數但云共有二 百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何 法以九分為一率二百零七 歲為二率一分為三率推得四率二十 三歲即第五子之年自二十三嵗遞加 三歲得四子二十六嵗三子二十九歳 二子三十二歲長子三十五歲自二十 三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十 七嵗八子十四歲九子十一歲也 設如有敘功之二十人其末一人賞銀一百兩以上 遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何 法以一分為一率遞加三十兩為二率 十九分為三率推得四率五百七十兩 即第一人比末一人共多之數於此數 内加入末名之一百兩共六百七十兩 即第一人應得之數以第一人所得之 數與末一人所得之數併之共七百七 十兩復以二十人乘之得一萬五千四 百…