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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷三 線部一 正比例 轉比例 合率比例 正比例帶分 轉比例帶分 比例 凡物彼此相形並之而用加較之而用減聚之而用乘 散之而用除觀之不過兩率然乘除之間四率之理已 黙寓其中如因乘命法曰人幾何每人得物幾何求總 物幾何則是每一人得物幾何與幾何人共得物幾何 相比而成四率乃自小而得大者也如歸除命法曰有 物幾何命幾何人分之每人得物幾何則是共人幾何 共物幾何與每一人得物幾何相比而成四率乃自大 而得小者也葢因命數以一人為法故乘與除各省其 率耳是雖名為乘除而實為相比之四率也至於比例 正法則所該甚廣大而推歩七政天行測量髙深廣逺 小而量功命事度大移小無一非由比例而得葢以兩 數為比例用今有之數即可以得未有之數也比例之 理雖分相連相當二種而相當比例之中實又兼相連 比例相當比例一率比二率如三率比四率而相連比 例首率比中率若中率比末率者即是中率為二率而 又為三率也盡人皆知線有線之比例面有面之比例 體有體之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之類 正皆比例之屬也然此類中有合數之比例分數之比 例均數之比例借數之比例非條分縷析各項專論則 不備故仍舊各自為類而獨於比例中最切者詳明其 理以列法焉其法一名異乘同除以原有 之兩件相除故為同除以今有之一件乘之故為異乘 而今則質言之曰正比例葢以原有之兩件 為一率二率以今有之一件為三率而所求之一件則 為四率也一名為同乘異除以原 有之兩件相乘故為同乘以今有之一件除之故為異 除而今則質言之曰轉比例葢以原有之兩件為二率 三率以今有之一件為一率而所求之一件則為四率 也然論其乘除之名雖異究其比例之理則一而已今 以數明之如原有之兩數為二與四今有之一數為八 以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三 率即得今所求之四率為十六而一率二與二率四之 比即三率八與四率十六之比為相當之比例也如原 有之兩數為八與四今有之一數為十六以原有之八 作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今 所求之四率為二而一率十六與二率八之比即三率 四與四率二之比或以一率十六與三率四之比即同 於二率八與四率二之比皆為相當之比例也總之乘 除之名有異同四率之列有更換而既成比例之後其 理無不歸於大同由此引伸觸類推而廣之有合幾四 率而為一四率者則名為同乘同除而 今則質言之曰合率比例葢其理亦不過合幾乘而為 一乘合幾除而為一除各按四率參互錯綜豈能岀於 比例之外哉凡此各種比例俱設數例於後以明立法 之根加之解說以廣用法之意 正比例 設如有銀買米每米一石銀八錢今買米二百四十 石問共該銀若干 法以米一石為一率銀八錢為二率今 買米二百四十石為三率二三率相乘 一率除之得四率一百九十二兩即共 銀數也葢一石與二百四十石為加二 百四十倍而八錢與一百九十二兩亦 為加二百四十倍故一 石與八錢之比即同於二百四十石與 一百九十二兩之比也