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欽定四庫全書 御製數理精藴下編卷二 首部二 命分 約分 通分 命分 凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零 數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒 零若畧去之則不能復還原數此命分之所以立也 其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除 不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命 為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所 不逮也 設如有銀十一兩命三人分之問每人得若干 法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩 所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六釐 六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法 以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三 兩又三分兩之二葢將每兩剖作三分其所餘二 兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為 三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則 以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分 則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得 二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也 再加入三人所得整數共九兩則得 十一兩以合原數也 設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得 若干 法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩 仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七 兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七 葢將每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一 百二十六分十八人分之每人得七分故命為十 八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數 則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分 葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也 以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢 初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再 加入十八人所得整數共一百八十兩 則得一百八十七兩以合原數也 約分 約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是隨 其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從 而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相 減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以 此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分 又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸 法中有帶分者皆由約法而得故設例於此所以明 帶分之根也 設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之 二十五今以法約之求相當最小數 法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分 再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦 餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉 除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分 二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為 四分之一是歳實共得三百六十五日又四分日 之一也凡約分法以分母分 子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以 度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數 二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為 四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分 一百與二十五之比即同於四與一之比是四與 一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分 子輾轉相減不得相等之數終減至於一是分母 分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命 分誌之可也 設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人 得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當 最小數 法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十 四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以 二十一減之餘四十 二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即 以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即 為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三 分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為七分 之三是每人得銀一兩又七分兩之三也 此法以一百四十七人與六十三兩 輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度 盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既 以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一 故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百 四十七與六十三之比即同於七與三之比是七 與三即一百四十七與六十三之相當最小數也 通分 凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如 斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數 而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零 作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之 以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零 數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根於此故 為另設加減乘除之法以明其義焉 加法 凡竒零數相加兩分母同者即併兩分子為得數若 相加之數大於母數則於所得數内減去母數為一 整數紀其餘為零數 設如有九分丈之七與九分丈之五 相加求總數 法以九分之七與九分之五左右列之 將兩分子七與五相加得一十二因子 數大於母數乃於一十二内減去母數 九為一整數餘三為零數即得整數一 丈零九分丈之三為相加之數也此法 因兩分母同為九分而兩分子亦同為 九分中之零分故徑併兩零分之七與 五得一十二又以母數九分收為一丈 其所餘三亦 仍為九分中之三分故得一丈零九分 丈之三為兩零分之共數此分母相同 之加法也