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欽定四庫全書 御製數理精藴上編卷四 幾何原本十一 幾何原本十二 幾何原本十一 第一 作三界度等之三角形及兩界度等 之三角形法如欲作三界度等之三 角形則作一甲乙線取甲乙之度為 準以甲為心自甲至丙作弧一段又 以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧 相交處至甲乙作二線即成三界度 等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三 角形之甲乙甲丙丙乙三界原係一 圜之輻線其度必等度既等而線未 有不等者也若欲作兩度等之三角 形仍作一甲乙線比甲乙線之度或 大或小取一度以甲乙二處為圜心 皆至丙作弧兩段仍於兩弧相交處 作二線即成兩界度等之甲丙乙三 角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙 線或大或小然二線俱同為一圜之 輻線其度自等兩度既等則兩界線 亦必等也 第二 平分直線角為兩分法如甲乙丙角 欲平分為兩分乃以一角為心任意 作弧線一段則乙甲乙丙二線截於 丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩 端復作一丁戊線照丁戊線度依前 節法作一三界度等之丁己戊三角 形則己角與乙角正相對乃自乙角 至己角作一乙己直線即分甲乙丙 角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊 己兩三角形之乙丁乙戊二界是一 圜之輻線其度等而丁己戊己二界 是三界度等三角形之兩傍界其度 亦等而乙己線既為兩形之共界 其等無疑此兩三角形之各界度既 各相等則與丁己戊己界相對之丁 乙己戊乙己二角亦必相等可見矣
第三 平分一直線為兩分法如有甲乙一直 線欲平分為兩叚乃如第一節法於甲 乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角 形又如第二節法平分甲丙乙角為二 分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲 乙線於丁而甲丁丁乙兩叚必等也葢 甲丙乙原為三界度等之三角形今作 丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角 形之相當各角各界必俱等而甲丁丁 乙為兩形相當之底界其度安得不等 乎 第四 横線上立縱線法如有甲乙一横線欲 於丙處立一縱線則於丙之兩傍任意 取等度二分為戊丙己丙以戊為心於 横線上作弧一叚又以己為心於横線 上作弧一叚兩弧相交於丁此丁處正 與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙 線上正立之縱線也試自戊己至丁作 二線成一戊丁己三角形此形之丁戊 丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等 而丁丙線既將戊己底線為兩平分則 丁丙線必為甲乙線之垂線矣 第五 有一横線自此線上不拘何處立縱線 法如有甲乙一横線自此線上丙處至 甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧 線一叚截甲乙線於戊己乃自戊己至 丙作二線成一戊丙己三角形又照第 二節分角法平分丙角為二分自丙至 甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為 自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三 角形之丙戊丙己兩界度等故戊角與 己角必等而丙丁線又平分丙角為二 則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等 而丙丁戊丙丁己兩並角亦必等此兩 並角既等則成兩直角既成兩直角則 丙丁線必為甲乙横線之垂線矣