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欽定四庫全書 御製數理精藴上編卷三 幾何原本六 幾何原本七 幾何原本八 幾何原本九 幾何原本十 幾何原本六 第一 大凡欲論諸物之不齊必借同類之 物以比之始可以得其不齊之度數 如一線與他線相比其度之或長或 短其數之或多或少自能見之如一 面與他面相比其面度之或大或小 其積數之或多或少自能見之又如 一體與他體相比其體度之或厚或 薄其積數之或多或少亦自能見之 若將一線與一面相比或一面與一 體相比既不同類又不同形則線之 長短面之大小體之厚薄俱不可辯 矣故曰欲論諸物之不齊必借同類 之物以比之也 第二 將兩數相比其度互為大小則謂之 比例其比者與所比者俱謂之率 其比之數為前率 其所比之數為後率如甲乙二數互 相為比其相較之分甲數之度為長 其分為多乙數之度為短其分為少 如是以比之故謂之二率甲為比之 之數故謂之前率乙為所比之數故 謂之後率焉 第三 有四率兩兩相比其一率與二率之比 同於三率與四率之比則謂之同理比 例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與 丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分 之五則甲與乙之比例丙與丁之比例 此兩比例相同而乙有甲㡬分之數即 可知丁有丙㡬分之數矣故凡四率内 將一率與三率分數定為相等二率與 四率分數亦定為相等其度之長短雖 有不同苟分數定準則一率與二率之 比即如三率與四率之比也夫甲乙丙 丁四線内甲第一線與丙第三線俱各 定為六分乙第二線與丁第四線俱各 定為五分則甲度之長雖大於丙度之 長其分數則俱為六而乙度之長雖大 於丁度之長其分數亦俱為五故知乙 第二線度與甲第一線度之六分之五 分相等丁第四線度亦與丙第三線度 之六分之五分相等所以甲線之比乙 線即如丙線之比丁線而謂之同理比 例也 第四 凡四率兩兩相比其一率與二率相比 之分若大於三率與四率相比之分則 為不同理之比例而比例不得行也如 有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互 相為比苟甲第一數與乙第二數相比 之分為六與四其丙第三數與丁第四 數相比之分為五與四則此甲與乙之 比大於彼丙與丁之比矣故凡如此例 者以一率二率相比之分為凖則三率 四率相比之分為小若依三率四率相 比之分為準則一率二率相比之分又 大故謂之不同理之比例而比例四率 不能行也 第五 凡有四率一率之度與二率之度相比 分數若同於三率之度與四率之度相 比分數則此四率又謂之相當比例四 率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線 相比之度與丙線與丁線相比之度其 分數同則此四線謂之各相當線而毎 兩率相比其毎度之分數同故又謂之 相當比例四率也 第六 凡三率互相為比其一率與二率之比 同於二率與三率之比則謂之相連比 例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲 數與乙數之比同扵乙數與丙數之比 則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣 若相連比例率内將一率與三率比之 則為隔一位加一倍之比例或有相連 比例四率將一率與四率比之則為隔 二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾 位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之 比例也如甲乙丙相連比例率内其甲 與丙之比為隔一位加一倍之比例又 或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率 其甲與丁之比即為隔二位加二倍之 比例而甲與戊之比則又為隔三位加 三倍之比例矣 第七 相當比例四率為數學之要因其理之 所該最廣故設為雙圜圖以申明之立 甲㸃為心作乙丙一大圜丁戊一小圜 此二圜界各具三百六十度故皆可以 為三百六十分 於是自圜之甲心過小圜界之辛 壬二處至大圜己庚二處作二線則大 圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲 角此甲角相對之己庚弧界設為六十 度則為乙丙大圜三百六十分中之六 十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為 六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦 為六十分矣大凡角度俱定於相對之 圜界今此大圜之己庚弧界小 圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度 雖依圜之大小不同而分數則等分數 既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相 為比即如四率之兩兩相比為同理比 例矣是以大圜之三百六十分為一率 自大圜所分之己庚弧之六十分為二 率小圜之三百六十分為三率自小圜 所分之辛壬弧之六十分為四率其乙 丙大全圜與本圜己庚分之比即同於 丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故 凡各率各度雖異相當之分數若同則 一率與二率之比必同於三率與四率 之比而俱謂之順推比例矣要之分合 加減各率之法總不越此圖之互轉相 較之理也 第八 一種反推比例將一率與二率之比同 於三率與四率之比者反推之以二率 與一率為比四率與三率為比其所比 之例仍同故亦謂之相當比例率也如 甲乙丙丁四數將甲與乙之比同於丙 與丁之比反推之以乙與甲為比丁與 丙為比則所比之例仍同於相當比例 率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數 之比例即乙丙大圜全界與所分己庚 弧界之比例丙數與丁數之比例即丁 戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例 也今反以乙與甲為比丁與丙為比即 如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙 丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛 壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其 以二率為一率以三率為四率前後互 移故謂之反推比例然名雖為反推比 例而相當比例之率仍與順推比例相 同也 …