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欽定四庫全書 御製數理精蘊上編卷二 幾何原本一 幾何原本二 幾何原本三 幾何原本四 幾何原本五 幾何原本一 第一 凡論數度必始於一點自點引之而為 線自線廣之而為面自而積之而為體 是名三大綱是以有長而無闊者謂之 線有長與闊而無厚者謂之面長與闊 厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其 間不能容分不可以數度然線之兩端 即點而線面體皆由此生點雖不入於 數實為衆數之本 第二 線有直曲兩種其二線之一端相合一 端漸離必成一角二線若俱直者謂之 直線角一線直一線曲者謂之不等線 角二線俱曲者謂之曲線角 第三 凡角之大小皆在於角空之寛狹出角 之二線即如規之兩股漸漸張去自然 開寛是以命角不論線之長短止看角 之大小如丙角兩線雖長其開股之空 狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股 之空寛遂成大角矣 第四 凡命角必用三字為記如甲乙丙三角 形指甲角則云乙甲丙角指乙角則云 甲乙丙角指丙角則云甲丙乙角是也 亦有單舉一字者則其所舉之一字即 是所指之角也 第五 凡有一線以此線之一端為樞復以此 線之一端為界旋轉一周即成一圜如 甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉 復至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線 謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜 面 第六 凡圜界不拘長短其分界之所即為弧 線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱 為弧線因其形似弧故名之 第七 凡圜自一界過圜心至相對之界畫一 直線將一圜為兩平分則為圜徑如乙 丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過 甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊 畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也 第八 凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻 線其度俱相等因平分全徑之半故又 謂之半徑線 第九 凡圜界皆以所對之角而命其弧而角 又以所對之弧而命其度葢角度俱在 圜界而圜界為角度之規也如乙角為 心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙 弧而甲丙弧即乙角之度也 第十 凡角相對之弧得圜界四分之一者此 角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜 甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一 半徑將半圜界又分為兩平分則成甲 乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界 四分之一則此二角為直角也若自丁 界過乙心至圜界戊處畫一直線又成 丁乙戊之徑復得甲乙戊丙乙戊兩相 等之直角矣故凡畫一直線交於别線 其所成之角若直此線謂之垂線葢因 平分圜界為四其四弧相對之四角必 相等而皆為直角則其二徑相交必互 為垂線可知矣 第十一 凡角相對之弧不足圜界四分之一者 謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角 故自圜徑中心復畫一輻線而不平分 半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己 丙庚之圜於甲乙丙之徑自乙心至甲 己丙之半圜界不兩平分於丁處畫一 輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍 角再將丁乙線引於相對圜界戊處畫 一丁乙戊徑線復成甲乙戊一鋭角丙 乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故 凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖 相並謂之並角如甲乙戊丙乙丁二角 之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙 丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角 也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相並 而同出一線則謂之並角矣 第十二 凡一圜内設兩角此一角相對之弧與 彼一角相對之弧其限若等則此二角 之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙 丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之 甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊 角其度亦相等也 第十三 凡有一圜其徑線之中心作相並之二 角此二角之度必與二直角等如甲丙 丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙 丙甲乙丁之相並二角此二角之度必 與二直角相等也 第十四 凡一直線交於他直線其所成之二角 或為二直角或與二直角等如丙乙丁 直線上畫一甲乙直線至於乙處即成 甲乙丙甲乙丁之二直角也又或於丙 乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處 復成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此 二角必與二直角相等也再申明之以 乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁 線為圜之徑線必將圜界平分為兩平 分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲 乙線又將半圜界平分為兩平分則此 二角各相對之弧皆為一圜界四分之 一而各為一直角可知矣又如戊乙線 將半圜界雖不兩平分而成一鋭角一 鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所 限半圜界度為全圜界四分之二故與 二直角相等也 第十五 凡自一心畫為衆線其所成之角雖多 止與四直角相等如自甲心至乙至丙 至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其 各角所函之度必與四直角等葢因甲 㸃為心衆輻線皆立一圜之界故衆角 所對之弧總不越一圜之全度前言一 圜之界僅有四直角之弧線兹角雖多 亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止 與四直角等也 第十六 凡兩直線相交所成二對角之度必俱 相等如甲乙丙丁二線交於戊處成甲 戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必 俱相等今以二線相交之處為心旋轉 畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜 之徑線矣惟其俱為徑線故將一圜為 兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之 半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半 圜界因兩半圜界俱係全圜徑線故相 交成對角其度必等兹將甲丙乙之半 圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁 之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧 凡兩相等之弧減去一段相等之弧所 餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半 …