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欽定四庫全書 御製歴象考成上編卷三 弧三角形下 斜弧三角形論 斜弧三角形邊角比例法 斜弧三角形作垂弧法 斜弧三角形用總較法 斜弧三角形設例八則 斜弧三角形論 弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但 直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一 鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍 或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過於九十 度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參 錯成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復 繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例 相當即可相求是故或同步一星或同推一數而所 用之法彼此互異遂使學者莫知所從兹約以三法 求之無論角之銳鈍邊之大小並視先所知之三件 為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求 之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對 之邊角而無對所求之邊角 則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角 則用 總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降 出沒經緯之縱橫交加無不可推測而知矣 斜弧三角形邊角比例法 凡斜弧三角形先知之三件有相對之 邊角又有對所求之邊角者則用邊角 比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角 有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙 為對所知之邊甲為所知之角甲乙為 對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正 弦與對所求之甲乙邊正弦之比同於 所知之甲角正弦與所求之丙角正弦 之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁 角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己 角為對所知之角丁戊為所知之邊丁 為對所求之角乃以對所知之己角正 弦與對所求之丁角正弦之比同於所 知之丁戊邊正弦與所求之戊己邊正 弦之比也 斜弧三角形作垂弧法 凡斜弧三角形先知之三件有相對之 邊角而無對所求之邊角者則用垂弧 法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲 乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃 自乙角作乙丁垂弧於形内分為甲乙 丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲 乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分 角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角 以丁角正弦與甲角正弦之比同 於甲乙邊正弦與乙丁垂弧正弦之比 而得乙丁垂弧以半徑與甲角餘弦之 比同於甲乙邊正切與甲丁邊正切之 比而得甲丁分邊以甲乙邊正弦與甲 丁邊正弦之比同於丁角正弦與 乙分角正弦之比而得乙分角次用丙 乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形 有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙 丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同於 半徑與乙分角餘弦之比而得乙分角 以丁角正弦與乙分角正弦之比 同於乙丙邊正弦與丁丙邊正弦之比 而得丁丙分邊既得兩分角並之即乙 角得兩分邊並之即甲丙邊也又如戊 己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己 庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作 己辛垂弧於形外將戊庚弧引長至辛 作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之 先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚邊 及己虚角葢此形有庚外角有己庚邊 有辛直角以辛角正弦與庚角正 弦之比同於己庚邊正弦與己辛垂弧 正弦之比而得己辛垂弧以半徑與庚 角餘弦之比同於己庚邊正切與庚辛 虚邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚 邊正弦與庚辛邊正弦之比同於辛角 正弦與己虚角正弦之比而得己 虚角次用戊己辛形求戊辛總邊及己 總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛 直角以戊角正切與半徑之比同於己 辛垂弧正切與戊辛邊弦弦之比而得 戊辛總邊以己辛垂弧正弦與戊辛邊 正弦之比同於戊角正弦與己角弦弦 之比而得己總角既得戊辛總邊内減 去庚辛虚邊即戊庚邊得己總角内減 去己虚角即己角也 斜弧三角形用總較法 凡斜弧三角形知三邊求 角者則用總較法以角傍 之兩邊相加為總弧相減 為較弧各取其餘弦相加 減
折半為中數又以對邊 之矢與較弧之矢相減餘 為矢較乃以中數與矢較 為比同於半徑與所求角 之正矢之比也如知兩邊 一角而角在兩邊之間者 以半徑與所知角之正矢 為比同於中數與矢較之 比既得矢較與較弧之矢 相加即得對邊之矢也如 甲乙丙斜弧三角形有三 邊求甲角則以甲角傍之 甲乙甲丙二邊相加得乙 丁 為總弧其正弦為丁 己餘弦為己庚甲乙與甲 丙相減餘乙戊為較弧其 正弦為戊辛餘弦為辛庚 兩餘弦相加得己辛