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欽定四庫全書 通雅卷四十 明 方以智 撰算數 九數方田粟米差分少廣商功均輸盈朒方程勾股也周髀捐悶皆周公之法也夕桀漢名也叀綴新率也周禮保氏注九數曰方田以御田疇界域曰粟米以御交質變易曰差分一名衰分以御貴賤稟税曰少廣以御羃積方圓曰商功以御功程積實曰均輸以御逺近勞費曰盈朒一云贏不足以御隠襍互見曰方程以御錯糅正負曰勾股一云旁要以御髙深廣逺鄭司農云今有重差夕桀即旁要即勾股也章懐曰九章周公所作凡九篇考工記註引粟米法玉人疏引盈不足術曰玉方寸重七兩石方寸重六兩詩綿疏引九章算術云穿地四為壌五為堅三厯譜有許商算術二十六卷杜忠算術十六卷㔬茂劉瑜鄭𤣥馬續翟酺何休張衡皆通之成帝時嵩真曹元理竝明算術吳志趙達南史顧越北史劉焯蘇綽皆善算術隋志古之九數圓周率三徑一其術疏舛自劉歆張衡劉徽王蕃皮延宗之徒各設新率未臻折衷宋祖冲之更開宻法以盈朒數三丈一尺四寸一分五釐九毫三杪六忽正數在盈朒二限之間密率圓徑一百一十三圓周三百五十五約率圓徑七周二十二又設開差羃立兼以正圓參之指要精密算氏之最也所著書名綴術子暅之更精志載徐岳甄鸞重術二卷李遵義疏一卷楊淑九九算術二卷岳鸞等撰别術二卷劉徽九章六曹算經一卷重差圖一卷又有孫子趙□夏侯陽張丘建算經五經算術黄鐘算法張浚九章推圖經法又劉□著算術一卷李淳風注九章算術要畧孫子算經謝察微算經二卷徐岳記遺曰世人言三不能比兩乃云捐悶與四維注引藝經曰捐悶者周公作也先本位以十二時相從徐爰稱捐悶乃是竒兩之術三不能比兩者孔子所造也四維東莱子所造也李籍音義云包犧氏立法其傳自周公受之扵大夫商高周人志之故曰周髀周髀有趙君卿爽注海島算經一卷甄鸞撰李淳風等注崇文目云魏劉徽注周官測日景立四表望逺及因木望山之術故輒造重差唐志有九章有周髀有海島有孫子有五曹有張丘建有夏侯陽有五經算有綴術有集古有紀遺凡三等數凡十二家大史丞王孝通緝之宋元豐中秘書監趙彦若等校定于地續狭斜之法凡二十術邵蔡皆取資焉 和較勾股之斜要也 周商高云數出扵方圓圓出扵方方出扵矩矩出扵九九之數故折矩以為勾勾廣三矩脩四徑隅五方之外半一矩而兩之以環于一成三四五為長二十有五謂之積矩此數之自生也如勾四尺股三尺求勾至股則四尺開方為十六三尺開方如九合九與十六為二十五以二十五開方則邊徑為五扵是知勾股之斜較為五尺此可推也漢法曰㫄要謂從㫄而要之也智按夕桀當是迤而桀之古夕通迻而呼桀為的訛註夕也上亷下亷從亷隅亷從方益方益從方則立方之斜和步 則量逺也正□餘□正切餘切正割餘割皆舉經線圍線而名 羃積者開方開立算其積實也 開方充邊徑之數四方布其實也開立平步而推之六羃皆方也積實謂之羃積如黄鐘管九寸以平方羃法推之一平方分通有面羃一萬萬忽九平方分深九十分則空圍内當有八百一十立方分之類是也大約邊徑求積不過自乗倍之而以邊求積之形則有法在 隙積即今之圓容也兩邊殺而首齊者曰塹堵四面皆殺而髙曰芻童 塹堵者立方如土墻兩邊殺兩頭齊其法併上下廣折半以為之廣以直髙乗之又以直髙為勾以上廣減下廣餘者為股勾股乗□以為斜髙有芻童者謂如覆㪷四面皆殺其法倍上長加入下長以上廣乗之倍下長加入上長以下廣乗之併二位法以髙乗之六而二也隙積者謂積之有隙者如累棊層壇及積罌之類雖以覆㪷四面皆殺縁有刻缺及虚隙處用芻童法求之常失于數少今用芻童法為上行下行别列下廣以上廣減之餘者以髙乗之六而一併入上行利公著圓容較義于九章則為少廣 叀術即今之測量器也 祖暅之綴術宋衛朴専明叀術叀音罥挂也挂空取線而算之總曰綴術今測量器作一方版安兩耳紐一隅繋線目穿兩耳紐以直物杪則線必下垂視其所直分數以三率乗除之其神捷者竝不須方版矣三率者異乗同除法也以第二率第三率相乗得數以第一率為法除之變測者第一率二率相乗而以三率之數分除知之然凡乗除無徃而非三率也若事務人數嵗月數工直數則用重測凡學者屏欲尊精乃能慧解如精耗病散則目光為日光水光所奪必迤且支而不準 立圓者圓圓也非痺圓與筩圓也 自乗平方以徑再乗之即立方矣痺圓者方四分而除一也細核之徑一圍三則有餘徑七圍二十二尚不足也徑十七周五十二始無差筩圓以圓加積耳立圓者滚圓也最難得法度數衍自乗而自乗而九乗之其積即四四立圓之積也今以自又自乗又九之而四四除即得立圓之□方田今曰丈量 方五尺為步二百四十步為畞長十六廣十五也廣一丈長六十丈亦一畞也廣不齊者多量之合而折之兩量則兩折三量則三折四量則四折折則小大皆匀以與直相乗而以六除之弓步用二十四除丈尺用六除 祘命算學也 漢志引書曰先其算命二百七十一枚成六觚為一握長八寸計厯數者也外國法用籌算古人持籌會計豈無法乎升菴引作祘命祘乃古算字説文算从竹弄引逸周書曰士分民之祘均分以祘之也讀若算此許氏疑而未決耳又作笇吳王濞□上方與晁錯調兵笇軍食宋書二凶□詳加笇考子才曰祘象縱横之形 同律度量衡同扵黄鐘之法也 説苑曰以黍生之十黍為一分十分為一寸十寸為一尺十尺為一丈十丈為一引十六黍為一豆六豆為一銖二十四銖為一兩十六兩為一斤三十斤為一鈞四鈞為一石十二黍為一龠十龠為一合十合為一升十升為一斗十斗為…